Кальчук И. В., Степанюк Т. А., Грабова У. З




Скачать 82.09 Kb.
Дата09.04.2016
Размер82.09 Kb.
УДК 517.5

Кальчук И.В., Степанюк Т.А., Грабова У.З.

Приближение ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ функций бигармоническими интегралами Пуассона

В работе проведено исследование вопросов о приближении дифференцируемых в смысле Вейля-Надя функций, которые удовлетворяют условию Липшица порядка , с помощью бигармонических интегралов Пуассона. Решена задача Колмогорова-Никольского на классах при приближении бигармоническими интегралами Пуассона в равномерной метрике.


Kalchuk I.V., Stepaniuk T.A., Grabova U.Z.

Approximation of differentiable functions by biharmonic integrals of Poisson

The article focuses on the problem of approximation of Weyl-Nagy differentiable functions, which obey Lipschitz’s conditions of order by biharmonic integrals of Poisson. The problem of Kolmogoroff-Nikolsky on the classes on approximation of Poisson’s biharmonic integrals in uniform metrics is solved.


1. Постановка задачи и некоторые дополнительные утверждения. Пусть С – пространство 2π-периодических функций, в котором норма определена равенством ; – пространство 2π-периодических измеримых существенно ограниченных функций с нормой ; L – пространство 2π-периодических суммируемых на периоде функций, в котором норма определена равенством .

Величину



, (1)

где


принято называть бигармоническим интегралом Пуассона функции . Положив , бигармонический интеграл Пуассона запишем в виде



, (2)

где


Пусть и – фиксированное действительное число. Если ряд



есть рядом Фурье некоторой суммируемой функции , то такую функцию называют -производной функции в смысле Вейля-Надя и обозначают . Множество функций, которые удовлетворяют такому условию, обозначают через .

Если и при этом , то есть удовлетворяет условию Липшица порядка :

то говорят, что принадлежит классу . При полагают, что .

Через обозначают множество -периодических функций, которые имеют абсолютно непрерывные производные до -го порядка включительно и . А – класс функций, спряженных к функциям с класса .

В данной работе изучается асимптотическое поведение величин



.

Если в явном виде найдена функция , такая, что при



то, следуя А.И. Степанцу [1], будем говорить, что решена задача Колмогорова-Никольского для бигармонического интеграла Пуассона на классе в равномерной метрике.

Аппроксимативные свойства метода приближения бигармоническими интегралами Пуассона на классах дифференцируемых функций исследовались многими учеными.

В 1963 г. С. Каниев в работе [2] установил асимптотическое равенство для величины при . В этой же работе он установил и точные значения аппроксимативных характеристик .

В 1968 г. P. Pych [3] уточнила результаты Каниева для величины , получив асимптотическое равенство с более точным порядком остаточного члена.

Позже эти исследования были продлены в работе Л.П. Фалалеева [4], где было получено полное асимптотическое разложение для величины по степеням .

В работе Л.П. Фалалеева и Т.И. Аманова [5] было найдено полное асимптотическое разложение для величины , которое формулируется как в терминах , так и в терминах .

В работе К.М. Жигалла, Ю.И. Харкевича [6] были найдены полные асимптотические разложение величин по степеням . Позже в работе этих же авторов [7] были получены точные значения верхних граней приближений бигармоническими интегралами Пуассона на классах сопряженных дифференцируемых функций в равномерной и интегральной метриках.

Параллельно проводились исследования величин приближений функций с классов линейными методами суммирования рядов Фурье. А именно, в 1966 г. Л.И. Баусов [8] получил асимптотическое равенство для точной верхней грани приближения функций с класса при помощи интегралов Абеля–Пуассона по степеням .

К этому времени аппроксимативные свойства бигармонического интеграла Пуассона на классах не были исследованы. Поэтому возник вопрос об отыскании асимптотических равенств для точных верхних граней приближений функций с классов бигармоническими интегралами Пуассона.

Для бигармонического интеграла Пуассона введем функцию

(3)

где , преобразование Фурье которой



(4)

суммируемо на всей числовой оси (этот факт доказан в работе [9]).

Рассмотрим функцию

где интеграл следует понимать как разность интегралов по симметричным промежуткам, что расширяются. Эта функция периодическая и суммируемая. Повторяя рассуждения, приведенные в работе [8, c. 9], несложно убедится в том, что коэффициенты Фурье функции можно представить в виде



(тут та – коэффициенты Фурье функции ). Тогда



(5)

где


.

Учитывая формулу (5), для получаем



(6)

где – бигармонический интеграл Пуассона виду (2). С равенства (6) следует, что для в каждой точке имеет место равенство



(7)

Приведем некоторые дополнительные определения и утверждения, которые будут необходимы нам для дальнейшей работы.



Определение 1´[8]. Пусть функция задана на , абсолютно непрерывна, и . Говорят, что функция , если производную в тех точках, где она не существует, можно доопределить так, чтобы существовали интегралы

Далее договоримся через – обозначать постоянные, вообще говоря, не одни и те же в разных соотношениях.



Теорема 1´[7]. Пусть , и



Для сходимости интеграла виду

(8)

необходимо и достаточно, чтобы сходились интегралы

,

при этом справедливы оценки:



(9)



где



2. Приближение функций с классов бигармоническими интегралами Пуассона. В принятых выше обозначениях имеет место следующая теорема:

Теорема. При , и имеет место асимптотическое равенство

, (10)

где и – соответственно (1,0)-производная и (2,0)-производная в смысле Вейля-Надя.

Доказательство. Представим функцию , заданную при помощи соотношения (3), в виде , где



(11)

(12)

Для сходимости интеграла согласно теореме 1' достаточно показать сходимость интегралов



(13)

(14)

Оценим первый интеграл с (13). Так как при



,

то

.

При , учитывая, что получаем



, (15)

.

Итак,


. (16)

Оценим второй интеграл с (13). Так как на подынтегральная функция непрерывная, а значит, ограниченная, то



. (17)

Оценим третий интеграл с (13). Учитывая (15), а также то, что , получаем



.

Для того, чтоб оценить первый интеграл с (14) разобьем промежуток на три части: , и . Тогда



, (18)

, (19)

. (20)

Учитывая (18)-(20), получим



. (21)

Оценим второй интеграл с (14). Нетрудно убедится, что



.

Таким образом, в силу теоремы 1´ преобразование Фурье функции , заданной в виде (11), суммируемо на всей числовой оси.

Для того, чтоб оценить величину , согласно сформулированной выше теореме 1´, достаточно найти оценку следующих интегралов:

, (22)

. (23)

Для этого сначала покажем, что



. (24)

Обозначим



Учитывая, что имеют место неравенства



(25)

(26)

получим






Учитывая то, что при , получим неравенства (24) в случае .

Для доказательства неравенств (24) при исследуем функцию

.

Так как










то, учитывая, что и , получим











Следовательно, при , имеем



Отсюда делаем вывод, что неравенства (24) справедливы при всех .

Используя первое неравенство с (24) оценим интегралы с (22):

, (27)

(28)

. (29)

Для того, чтоб оценить первый интеграл с (23) разобьем промежуток на три части: , та . Учитывая сначала равенство (12) и второе неравенство с (24), а потом (25), (26), получаем





(30)

, (31)

. (32)

С (30)-(32) получим



. (33)

Для того, чтоб оценить второй интеграл с (23), отметим, что при и имеет место равенство





.

И, так как



,

то, учитывая соотношения (27)-(29), получаем



. (34)

Подставляя (27)-(29), (33)-(34) в (9) получим



. (35)

Учитывая интегральное представление (7) и то, что , получим







(36)

Отсюда, учитывая (8), будем иметь





. (37)

Согласно соотношению (5), ряд Фурье функции



имеет вид



.

Поэтому


(38)

Подставляя (38) в (37) получаем, что при



. (39)

Учитывая также оценку (35), получим (10). Теорема 1 доказана.



Список литературы.

1. Степанец. А.И. Классификация и приближение периодических функций. – К: Наук. Думка, 1987. – 268 с.

2. Каниев С. Об уклонении бигармонических в круге функций от их граничных значений // Докл АН СССР. – 1963. –153, № 5. – С. 995-998.

3. Pych P. On a biharmonic function in unit disc // Ann. pol. math. – 1968. – 20, № 3. – P. 203 – 213.

4. Фалалеев Л.П. Полное асимптотическое разложение для верхней грани уклонения функций из от одного сингулярного интеграла // Теоремы вложения и их приложения: Материалы всесоюзного симпозиума. – Алма-Ата, «Наука» КазССР, 1976. – С. 163-167.

5. Аманов Т.И., Фалалеев Л.П. Приближение дифференцируемых функций операторами типа Абеля-Пуассона // 5-е Совецко-Чехословацкое совещание по применению методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики (Алма-Ата, 1976): Тр. совещания. – Новосибирск, 1979. – С. 13-16.

6. Жигалло К.М., Харкевич Ю.І. Наближення диференційовних періодичних функцій їх бігармонійними інтегралами Пуассона // Укр. мат. журн. –2002. – 54, № 9. – С. 1213-1219.

7. Жигалло К.М., Харкевич Ю.І. Наближення спряжених диференційовних функцій бігармонійними інтегралами Пуассона // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 3 – С. 333-345.

8. Баусов Л.И. Линейные методы суммирования рядов Фурье с заданными прямоугольными матрицами, ІІ//Изв. вузов. – 1996. –46, № 3. – С.15-31.

9. Жигалло К.М., Харкевич Ю.І. Наближення бігармонійними інтегралами Пуассона класів - диференційовних функцій в інтегральній метриці // Проблеми теорії наближення та суміжні питання: Пр. Ін-ту математики НАН України. – 2004. – 1, № 1. – С. 144-170.






База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница