Ионизация низкоразмерных систем в сильном внешнем поле




Скачать 396.22 Kb.
страница1/3
Дата02.04.2016
Размер396.22 Kb.
  1   2   3
Министерство экономического

развития и торговли РФ
Государственный университет -

Высшая школа экономики


Факультет Прикладная Математика и Кибернетика
Кафедра Прикладная Математика
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

На тему


____________Ионизация низкоразмерных систем в сильном внешнем поле.________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Студент группы М-94

Раевский Дмитрий Николаевич

(Ф.И.О.)
Научный руководитель

Профессор, д. ф.-м. н., Эминов Павел Алексеевич

(должность, звание, Ф.И.О.)


Консультант

Профессор, к. ф.-м. н., Сезонов Юрий Иванович

(должность, звание, Ф.И.О.)

Москва 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

§1.Введение…………………………………………………………………….3

§2.Ионизация двумерной квантовой точки полем линейно-поляризованной волны…………………………………………………………………………..12

§3.Вычисление импульсного распределения и вероятности процесса ионизации двумерной и трехмерной квантовой ямы суперпозицией постоянного и переменного электрических полей………………………….27

§4.Вычисление скорости ионизации атома водорода с учетом кулоновского взаимодействия электрона с атомным остовом в туннельном режиме………………………………………………………………………...39

§5.Заключение………………………………………………………….……..50

Список использованной литературы………………………………………...52


  1. Введение.

В последние годы актуально исследование квантовых эффектов в низкоразмерных наноструктурах. Переход к системам пониженной размерности приводит к новым физическим результатам, которые отличаются как качественно, так и количественно от аналогичных эффектов в трехмерном случае. В связи с этим возрастает потребность детального количественного описания свойств низкоразмерных систем во внешних электромагнитных полях.

Развитие нанотехнологий и успехи в создании мощных источников когерентного излучения стимулируют теоретические и экспериментальные исследования процесса ионизации наноструктур в интенсивных электромагнитных полях [1,2].

Методы теоретического описания явления нелинейной ионизации связанной системы в поле интенсивной электромагнитной волны были предложены в работах [1-4]. На основе этих методов, а также подходов, развитых в [5-7], и в монографиях [8,9], проведены многочисленные теоретические исследования фотоионизации атомов, ионов и полупроводников под действием как сильного лазерного излучения, так и в электромагнитных полях сложной конфигурации (см., например, [1,2,5, 12-14] и цитированную в этих работах литературу).
В работе [1] впервые было показано, что туннельный эффект и многофотонная ионизация в переменном электрическом поле являются двумя предельными случаями процесса нелинейной фотоионизации, характер которой зависит от параметра Келдыша. Этот параметр равен отношению частоты волны к частоте туннелирования электрона :

где - энергия связи электрона, - амплитуда напряженности электрического поля, - приведенное поле, - параметр многоквантовости процесса, определяющий минимальное число фотонов, необходимых для ионизации,



– атомная единица напряженности электрического поля

Далее будем использовать атомную систему единиц, в которой В этой системе единиц - характерный импульс связанного состояния, , , а также параметр Келдыша - безразмерные величины, – энергия связи атома водорода в основном состоянии. В теории Келдыша предполагается выполнение условий и . Эти условия являются необходимыми для применимости квазиклассического приближения.

В работе [1] впервые было получено выражение для вероятности ионизации атома, которое при низких частотах, когда , переходит в обычную формулу для туннельного эффекта, а при описывает многофотонное поглощение. Заметим, что при ионизации атомов и ионов полем интенсивного инфракрасного или оптического лазера параметр Келдыша принимает значения .

В методе Келдыша влиянием кулоновского поля ядра на процесс ионизации пренебрегается, а конечное состояние электрона в амплитуде вероятности перехода из исходного связанного состояния задается точным решением уравнения Шредингера в поле электромагнитной волны.

Полученная Келдышем формула для вероятности ионизации атома в переменном электрическом поле[1] правильно передает основные черты явления: экспоненциальную зависимость вероятности ионизации от амплитуды поля и пороговые особенности при частотах, отвечающих поглощению квантов. Однако, при переходе к постоянному полю

полученное в [1] выражение не совпадало с известной формулой [2] для скорости ионизации атома водорода в постоянном поле.

Для получения правильного предэкспоненциального множителя, как отмечалось уже в самой работе [1], нужно знать волновую функцию конечного состояния электрона, учитывающую также взаимодействие фотоэлектрона с атомным остатком. Здесь следует отметить, что эта задача не потеряла свою актуальность до настоящего времени [14].

Вскоре после появления работы [1] в статье [3] была исследована простая одномерная модель ионизации связанного уровня в потенциале нулевого радиуса действия, допускающая асимптотически точное (при ) решение при любых частотах внешнего поля. Было показано, что формула для вероятности ионизации содержит ту же экспоненту, что и трехмерном случае. Также были получены формулы для вероятности ионизации связанной короткодействующими силами системы в случае линейной () и циркулярной ( поляризации падающей электромагнитной волны в трехмерном случае.

Методы, предложенные в работах [1-5] были использованы при исследовании процесса ионизации одномерной квантовой ямы сильными внешними полями в полупроводниковых гетероструктурах (см.[9] стр. 86).

Однако, как отмечалось выше, для получения правильного предэкспоненциального множителя, в случае ионизации реального нейтрального атома, необходимо учесть кулоновское взаимодействие (–заряд атомного остатка), существенно искажающее волновую функцию электрона на больших расстояниях. Кулоновские поправки на несколько порядков увеличивают скорость ионизации. В работе [10] была получена кулоновская поправка к скорости ионизации атома в случае линейной поляризации электромагнитной волны (электрическое поле направлено по оси ОХ). Было показано, что учет кулоновского взаимодействия фотоэлектрона с атомным остатком приводит к появлению дополнительного члена в предэкспоненциальном множителе

где – характерная величина размерности поля для связанной системы, –эффективное главное квантовое число.

В работе [11] исследован процесс ионизации связанной короткодействующими силами системы суперпозицией постоянного электрического и постоянного магнитного полей.

Для монохроматической электромагнитной волны с линейной поляризацией импульсное распределение вероятности ионизации имеет следующий вид[12]:



где –предэкспоненциальный множитель, а – проекция импульса фотоэлектрона на направление, параллельное (перпендикулярное) напряженности электрического поля волны, – функция Келдыша, впервые полученная в работе [1]:





функция келдыша.jpg

рис.1


На рисунке 1 изображена зависимость функции Келдыша от параметра адиабатичности.

Коэффициенты импульсного распределения фотоэлектронов равны:





В работе [13] вычислена кулоновская поправка к функционалу действия и к скорости многофотонной ионизации атома в интенсивном линейно поляризованном электромагнитном поле при больших значениях параметра адиабатичности .

Задача об ионизации атома в низкочастотном линейно поляризованном электромагнитном поле, когда взаимодействие между электроном и атомным остатком в конечном состоянии непрерывного спектра нельзя рассматривать по теории возмущений, обсуждается в работе [14].

Исследования процессов нелинейной ионизации атомов, ионов и наноструктур актуально в связи с созданием мощных источников когерентного излучения ультрафиолетового и рентгеновского диапазона длин волн. Такие источники имеют в своей основе лазер на свободных электронах (ЛСЭ) – прибор, преобразующий энергию ультрарелятивистских электронов, энергия которых во много раз превышает их энергию покоя , в энергию электромагнитного излучения. Они позволяют получать излучение на любой длине волны в диапазоне от до .

Уникальная установка такого типа FLASH (Free electron LASer in Hamburg)была построена и работает в лаборатории DESY(Гамбург, Германия) [15].В 2002 г. Установка FLASH генерировала импульсы электромагнитного излучения шириной около , длительностью порядка и интенсивностью около . В 2008г. в той же лаборатории DESY совместно с сотрудниками Физико-Технического института им. А.Ф.Иоффе (Санкт-Петербург) [16] проводились эксперименты, в ходе которых был изучен фотоэлектрический эффект в коротковолновой части ультрафиолетового диапазона (длина волны около ) при большой интенсивности излучения. При этом достигалась рекордная для ультрафиолетового диапазона интенсивность - . Была исследована зависимость скорости ионизации от мощности излучения, и наблюдавшаяся в эксперименте степень ионизации оказалось неожиданно высокой – под действием света из атома ксенона вырвалось до 21 электрона, то есть более трети всех у него имеющихся.

В настоящее время строится Европейский рентгеновский лазер на свободных электронах (EuropeanX-rayFEL) –международный проект по строительству самого крупного в мире лазера на свободных электронах при участии 12 стран при руководстве России и Германии. Он будет расположен в Германии между землями Гамбург и Шлезвиг-Гольштейн. Он будет значительно превосходить по своим техническим параметрам аналогичные лазеры в США и Японии.

Целью выпускной квалификационной работы является теоретическое исследование процесса ионизации двумерной квантовой точки и водородоподобного атома в интенсивных внешних полях, когда нельзя пользоваться теорией возмущений и требуется точный учет взаимодействия электронной системы с внешним полем.

Удерживающий потенциал двумерной квантовой точки будем моделировать потенциальной ямой вида [17]





(1)

где - радиус квантовой точки. В зависимости от вида латерального удерживающего потенциала характерный размер квантовой точки меняется от десятков до нескольких сотен нанометров, а число электронов в квантовой точке может контролируемо меняться от единиц до нескольких сотен. Отметим, что другой термин, предлагаемый в литературе для рассматриваемого в работе двумерного объекта – двумерная квантовая яма.

Во 2 параграфе исследован процесс ионизации двумерной квантовой точки полем линейно-поляризованной волны. В 3 параграфе методом мнимого времени (ММВ) получено импульсное распределение вероятности ионизации связанной системы в интенсивном поле образованном суперпозицией постоянного и переменного электрических полей. В 4 параграфе вычислена вероятность туннельной ионизации водородоподобного атома суперпозицией постоянного и переменного электрических полей с учетом кулоновского взаимодействия фотоэлектрона с атомным остатком.



  1. Ионизация двумерной квантовой точки полем линейно-поляризованной волны.

В настоящем параграфе исследован процесс ионизации двумерной квантовой точки в поле плоской линейно-поляризованной волны.

Расчет вероятности ионизации будет проводиться на основе квантово-механических методов, изложенных в работе [3,4].

Пусть линейно-поляризованная электромагнитная волна распространяется в направлении оси OZ, т.е. перпендикулярно к плоскости квантовой точки, а длина волны много больше радиуса ямы. Тогда электрическое поле можно считать однородным и направленным вдоль оси OX:

,

где – амплитуда напряженности, - частота волны.

Энергию связи электрона в двумерной квантовой точке обозначим через , а действием магнитного поля волны на нерелятивистский электрон будем пренебрегать.

Если напряженность электрического поля волны удовлетворяет условию





(2)

то в первом приближении можно пренебречь влиянием поля волны на движение электрона в потенциальной яме ().

Рассмотрим нестационарное уравнение Шредингера в двумерной потенциальной яме (1) в присутствии переменного электрического поля





(3)

здесь - гамильтониан электрона в свободном случае:

где – двумерный оператор Лапласа:



Пусть в начальный момент времени электрон находился в основном состоянии с энергией . Нестационарное уравнение Шредингера в двумерной потенциальной яме (1) имеет следующий вид:





(4)

Решение этого уравнения представляется в виде:

где является собственной функцией гамильтониана с собственным значением . Волновая функция стационарного состояния определяется формулой





(5)

где и - функции Бесселя и Макдональда нулевого порядка и приняты обозначения

Из условия непрерывностив точке следует, что , откуда . Из условия нормировки находим постоянную :




(6)



Условия непрерывности волновой функции и ее производной в точке приводят к уравнению

решение которого определяет энергию основного состояния электрона.

Окончательно получаем:

Временная функция Грина определяется, как решение неоднородного дифференциального уравнения в виде



где - эрмитов линейный дифференциальный оператор в координатном представлении. Свертка с функцией Грина дает решение неоднородного дифференциального уравнения: если - функция Грина оператора , тогда решение уравнения задается так:




Таким образом, функция Грина нестационарного уравнения Шредингера в области является решением следующего уравнения:

Для квазистационарного режима уравнение (3) приводится к интегральному уравнению:




(7)



Функция Грина отвечает движению частицы в однородном поле, зависящем от времени, и легко находится переходом к импульсному представлению:

Здесь - функция Хевисайда,





- обобщенный импульс для движения в однородном электрическом поле, - векторный потенциал электрического поля. В рассматриваемом случае переменного электрического поля, направленного по оси ОХ, имеем:


(8)



Величина

является классической траекторией частицы в поле .

Уравнение (7) является точным интегральным уравнением для волновой функции . Для наших целей достаточно найти приближенное решение.При выполнении условия (2) отличие точной волновой функции от функции пренебрежимо мало в области , а при (- радиус квантовой точки) функция равна нулю. Тогда в формуле (7) функцию можно в первом приближении заменить на волновую функцию связанного состояния электрона в квантовой точке для свободного случая.

Используя стационарное уравнение Шредингера без учета влияния внешнего поля, выделим произведение :



Подставив полученное выражение в уравнение (7), получаем:








(9)



Переходя далее к импульсному представлению волновой функции , получаем:

Здесь


Зная явный вид волновой функции в координатном представлении, вычислим



Для вычисления этого интеграла, перейдем к полярным координатам . Чтобы не спутать обобщенный импульс от константы , будем обозначать первый как









С учетом известных соотношений для цилиндрических функций








функция представляется в следующем виде:




(10)



Здесь , а величина определяется формулой (6).

Подставляя в формулу (9) выражения для векторного потенциала и обобщенного импульса (8), получаем:








(11)



Уравнение (11) можно записать и в другом, более простом и удобном виде. С учетом формулы (8), а также уравнения, определяющим классическую траекторию частицы в поле получаем:




(12)


где функция определяется из (10).

Для вычисления вероятности ионизации в единицу времени надо вычислить полный поток частиц через бесконечно удаленныеот центра квантовой точки прямые, перпендикулярные оси ОХ [3], т. е.





(13)

В (13) черта означает усреднение по периоду волны. Поток



(14)

а плотность потока частиц




(15)

где символ означает комплексное сопряжение. Подставляя (12) в (15) получаем выражение для плотности потока электронов:








(16)


Обозначим через ту часть плотности потока, которая не зависит от координаты , то есть . Подставив это в формулу (14), получим следующую формулу для потока:

где – дельта-функция Дирака.

Воспользовавшись далее формулой

Где - параметр Келдыша, поток можно представить в следующем виде:







Подынтегральное выражение имеет полюса в точках , где



Величина


определяет порог ионизации – минимальное число квантов, поглощение которых необходимо для ионизации системы. При полюс лежит на мнимой оси, при он находится на вещественной оси. Учитывая соотношение



и устремляя , получаем следующее выражение:







Проинтегрировав это выражение по и по с помощью дельта-функций, получим, что , и . Также учтем, что при суммировании недиагональные члены этой суммы () при быстро осциллируют и взаимно компенсируются; конечный вклад возникает лишь при . Усредняя по периоду поля и домножая полученное выражение на два, находим, что вероятность ионизации имеет вид суммы вероятностей многофотонных процессов:




(17)


где есть парциальная вероятность ионизации при поглощении квантов волны с частотой :



(18)

При этом выполняется закон сохранения энергии

В этом выражениичлен равен средней кинетической энергии колебательного движения электрона в поле . Для нахождения точной формулы для вероятности ионизации плоской двумерной квантовой точки, остается вычислить интеграл в (18), а значит надо найти Так как являются коэффициентами ряда Фурье, то эту функцию можно представить в виде однократного интеграла:



где , а функция определяется формулой (10), а можно выразить из уравнения для



Сделаем далее замену и перепишем формулу (8) для обобщенного импульса в удобном виде:



Преобразуем подынтегральное выражение:













В результате, имеем:




(19)


где - параметр многоквантовости процесса ионизации.

В предельном случае , когда для ионизации требуется поглощение большого числа фотонов, интеграл (19) вычисляется методом перевала.

Метод перевала используется при решении интегралов вида

где - большой параметр, а - кривая в комплексной области (в общем случае), и являются голоморфными на .Если - конечный контур, то в первом приближении асимптотическое решение представляется в виде:





достигает своего максимума в единственной точке , , если - простая перевальная точка, то есть . Если функциядостигает максимума на данном контуре в нескольких точках, то определяется как сумма вкладов от всех перевальных точек.

В данном случае



тогда уравнение для перевальных точек принимает вид:




(20)


Подставим в формулу (10):











(21)

где константа определяется формулой (6), а и – функции Инфельда нулевого и первого порядков соответственно.

При интегрировании в (19) следует учитывать, что эффективные значения и много меньше . Поэтому все величины, входящие в показатель экспоненты, нужно разложить в ряд Тейлора до и включительно.

Перепишем уравнение (20) в следующем виде:


(22)


где - простая перевальная точка. Раскладывая функции, в которые входят и , до квадратичных членов найдем значения для , :


(23)





(24)


Подставим формулы (23) и (24) в интеграл (19). Следует отметить, что экспоненциальный множитель при разных перевальных точках отличается только знаком в мнимой части, реальная же часть совпадает. Учитывая это, получаем:




(25)


где функция Келдыша [1]:

и принято обозначение





Выражение (25) надо подставить в (18) и проинтегрировать,перейдя к полярным координатам, при этом можно пренебречь вкладом от члена, содержащего быстро осциллирующий множитель.

В итоге, для вероятности –квантовой ионизации в поле линейно-поляризованной волны нулевого уровня электрона в двумерной квантовой точке с энергией связи получаем формулу




(26)


где приняты обозначения

Быстро растущая в показателе экспонента в формуле (26) величина в поле линейно-поляризованной волны имеет такой же вид, как и в трехмерном и одномерном случаях [2,9], и впервые она была получена в работе [1].

В отличие как от одномерной модельной задачи об ионизации связанного уровня в поле короткодействующих сил [2], так и от аналогичной задачи в трехмерном случае [2,9], в рассматриваемом нами двумерном случае формула (26) допускает точное проведение суммирования по квантовому числу , благодаря чему можно найти вероятность ионизации в единицу времени:


(27)


Другой характерный только для двумерной задачи результат состоит в том, для вероятности ионизации с поглощением фотонов в квазиклассическом приближении, когда выполнены условия

где - характерная величина размерности поля для связанной системы, также удается получить точное аналитическое представление:




(28)


Важным частным случаем рассматриваемой задачи является случай адиабатического приближения, когда параметр . В этом случае для вероятности процесса получаем следующую асимптотику:


(29)


где –приведенное поле.

Зависимость вероятности процесса от параметра в предэкспоненциальном множителе является линейной. Для сравнения, соответствующие расчеты без учета кулоновских поправок дают в одномерном случае [1] и в трехмерном случае для основного состояния электрона [1,3,12].

В другом предельном случае, когдапроцесс ионизации является многофотонным и , вероятность ионизации задается формулой:


(30)


Сравнивая полученные выражения с полученными ранее результатами для низкоразмерных наноструктурс короткодействующим удерживающим потенциалом, хочется обратить внимание на то, что в адиабатическом приближении в формуле для вероятности ионизациив постоянном электрическом зависимость предэкспоненциального множителя от параметра приведенного поля имеет [1,19,20], в то время как в переменном электрическом поле она имеет вид [1,2,12], где - приведенное поле и - размерность системы.

Таким образом, в настоящем параграфе получены аналитические выражения, описывающие зависимости как скорости ионизации (см. рис.2), так и парциальных вероятностей процесса ионизации двумерной квантовой точки от характерных параметров задачи.



graph1

рис. 2


Рисунок 2. Зависимость скорости ионизации от параметра Келдыша, радиуса квантовой точки и глубины ямы:


  1   2   3


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница