I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики




Скачать 91.43 Kb.
Дата13.07.2016
Размер91.43 Kb.
I. Случайные события.

1. Основные формулы комбинаторики

а) перестановки .

б) размещения

в) сочетания .


2. Классическое определение вероятности.

, где - число благоприятствующих событию исходов, - число всех элементарных равновозможных исходов.
3. Вероятность суммы событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:



Теорема сложения вероятностей совместных событий:




4. Вероятность произведения событий

Теорема умножения вероятностей независимых событий:



Теорема умножения вероятностей зависимых событий:



,

- условная вероятность события при условии, что произошло событие ,

- условная вероятность события при условии, что произошло событие .
5. Формула полной вероятности

, где - полная группа гипотез, то есть , - достоверное событие.
6. Формула Байеса (формула Бейеса). Вычисление апостериорных вероятностей гипотез

, где - полная группа гипотез.

7. Формула Бернулли

- вероятность появления события ровно раз при независимых испытаниях, - вероятность появления события при одном испытании.
8. Наивероятнейшее число наступления события.

Наивероятнейшее число появления события при независимых испытаниях:



, - вероятность появления события при одном испытании.

9. Локальная формула Лапласа

- вероятность появления события ровно раз при независимых испытаниях, - вероятность появления события при одном испытании, .
10. Интегральная формула Лапласа

- вероятность появления события не менее и не более раз при независимых испытаниях, - вероятность появления события при одном испытании, .
11. Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности :

.


II. Случайные величины


12. Ряд распределения дискретной случайной величины







…….









…….



Сумма вероятностей всегда равна 1.
13. Функция распределения (интегральная функция распределения)

Функция распределения случайной величины определяется по формуле . Это неубывающая функция, принимающая значения от 0 до 1. Если задана плотность распределения , то функция распределения выражается как .


14. Плотность распределения (дифференциальная функция распределения)

Плотность распределения случайной величины определяется по формуле . Существует только для непрерывной случайной величины. Для нее выполняется условие нормировки: (площадь под кривой равна 1).


15. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

Может быть вычислена двумя способами:

1) через функцию распределения

2) через плотность распределения


16. Математическое ожидание случайной величины

1) Для дискретной случайной величины , заданной рядом распределения:



1) Для непрерывной случайной величины , заданной плотностью распределения :



.
17. Дисперсия случайной величины

По определению дисперсия – это второй центральный момент:

1) Для дискретной случайной величины , заданной рядом распределения:

1) Для непрерывной случайной величины , заданной плотностью распределения :




18. Среднее квадратическое отклонение случайной величины



III. Распределения случайных величин


19. Биномиальное распределение (дискретное)

- количество «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна . .

Закон распределения имеет вид:





0

1

…..

k

…..



















Здесь вероятности находятся по формуле Бернулли: .

Характеристики: , ,


20. Пуассоновское распределение (дискретное)

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

При условии закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность события A в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.

Ряд распределения:





0

1

…..

k

…..







…..



…..

Вероятности вычисляются по формуле Пуассона: .

Числовые характеристики: , ,

Разные многоугольники распределения при .


21. Показательное распределение (непрерывное)

Экспоненциальное или показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Плотность распределения:

, где .

Числовые характеристики: , ,

Плотность распределения при различных значениях .


22. Равномерное распределение (непрерывное)

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчётов (например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке [-0,5; 0,5]), в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчинённых заданному распределению.

Плотность распределения:


Числовые характеристики: , ,

График плотности вероятностей:




23. Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное)

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, – распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

Плотность распределения:

Числовые характеристики: , ,

Пример плотности распределения:

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами и называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая - стандартной или нормированной.

Функция Лапласа .

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал



Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины на величину от математического ожидания (по модулю).



.


IV. Другие формулы


26. Неравенство Чебышева



27. Неравенство Маркова



28. Математическое ожидание функции одной случайной величины



29. Корреляционный момент системы случайных величин и



30. Коэффициент корреляции системы случайных величин и



31. Пуассоновский поток событий







База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница