Графические приемы решения задач с параметрами в системе «переменная – параметр»




Скачать 91.62 Kb.
Дата26.02.2016
Размер91.62 Kb.
Приложение 2

Графические приемы решения задач с параметрами

  1. Графические приемы решения задач с параметрами в системе «переменная – параметр».

1.Задачи для знакомства с методом.
1.Найти значения а, при которых уравнение (а-|х-2|+1)·(а-х2+4х-1)=0 имеет ровно 3 корня.

Решение. Выражаем параметр как функцию от х: а=lх-2l-1 или

а=. В плоскости (х;а) строим графики. График этой совокупности - объединение «уголка» и параболы.

Проводим прямые, перпендикулярные оси а. Находим значения а, при которых прямая и графики имеют 3 общие точки. Лишь прямая а=-1 пересекает полученное объединение в трёх точках.

Ответ: а=-1 .

2.Найти значения а, при которых уравнение (а+4х-х2-1)·(а+1+|х-2|)=0 имеет ровно 3 корня. Ответ: а=-1 или а=-3.

3.Найти значения, при которых уравнение (a- имеет ровно 3 действительных корня.

Ответ: а=1 или а=3.

4.Найти значения а, при которых уравнение (а+3)-а|х-4|=(8х-х2-10)·|х-4|-(8х-х2-10)·(а+3) имеет ровно 2 корня.

Ответ: а= или а (-6;-3).

5.Для всех а решить неравенство: |2х-3|+6а-4≤0 Решение. l2х-3аl

По свойству модуля неравенство lpl≤q заменим на двойное неравенство -q≤p≤q.

Получим систему .

Выразим х через а и изобразим систему графически в плоскости (а;х).

Систему неравенств на плоскости задает пересечение полуплоскостей. Так как неравенства нестрогие, то точки на ограничивающих полупрямых являются решением неравенства. Уточним координаты точки пересечения прямых А(;1). Проводим прямые, перпендикулярные параметрической оси.

При каждом значении а< , решением неравенства является отрезок, при а= решением является ордината точки А, при а> прямые не пересекают нужную часть плоскости и неравенство решений не имеет.

Ответ: если а< ,то х [4,5а-2; 2-1,5а]; если а= , то х=1; если а> , то решений нет.

2. Задачи, для решения которых применяется

формула разложения квадратного трёхчлена на множители.

1.Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет одно решение. Решение. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен. D=(3a-1)2-4(2a2-2)=(a-3)2; х=;c:\documents and settings\лаборант\мои документы\мои рисунки\controlcenter3\scan\ccf21022012_00000.jpg

х1=2а-2, х2=а+1; ;
Ответ: а=-2, а=.

2.Найти все значения параметра а, при которых уравнение =0 имеет одно решение. Ответ: а=1, а=-1.

3.При каких значениях а уравнение 4х-(а+3)·2х+4а-4=0 имеет 1 корень?

Решение. Пусть 2х=t. Тогда найдем а, при которых система имеет единственное решение.c:\documents and settings\лаборант\мои документы\мои рисунки\controlcenter3\scan\ccf21022012_00000.jpg

Раскладываем квадратный трехчлен на множители

Выражаем а через t

В координатной плоскости (t,а) строим графики.

Находим а, при которых прямая, перпендикулярная оси а пересекает график совокупности в одной точке.

Ответ: а≤1 или а=5.

4.При каких а уравнение 25х-(а-4)·5х-2а2+10а-12=0 не имеет корней? Ответ: 2≤а≤3.

5.При каких а уравнение 36х+(а-1)·6х+а-2а2=0 имеет два различных корня? Ответ: 0<а< или <а<.

6.Определить а, при которых уравнение (х2-а)2=6х2-4х-2а имеет 3 различных корня.c:\documents and settings\лаборант\мои документы\мои рисунки\controlcenter3\scan\ccf21022012_00000.jpg

Решение. Уравнение х4-2х2а+а2=6х2-4х-2а рассмотрим как квадратное относительно а.

Тогда а2+2(1-х2)а+(х4-6х2+4х)=0;

D=4(1-2х)2; а12-2х, а22+2х-2.

В плоскости (х,а) строим график совокупности.

Находим а, при которых прямая, перпендикулярная оси а пересекает график совокупности в трёх точках. Уточняем координаты точки пересечения парабол.

Ответ: при а=-1, при а=- уравнение имеет три различных корня.

7.При каких значениях параметра а уравнение х4+6х3+2(4-х)·х2+2(1-3х)+а2-1=0 имеет ровно 3 корня? Ответ: при а=0 или а=4.

8.При каких значениях параметра а уравнение 16х4-8(2+а)·х2-8х+а2-1=0 имеет два различных корня? Ответ: при -2<а<0.

9.При каких значениях параметра а уравнение х4-2(2+а)·х2-4х+а2-1=0 имеет 4 различных корня? Ответ: при 0<а< или а>.

10.Для всех значений а решить уравнение =х.

Уравнение сводится к системе

Рассматриваем уравнение как квадратное относительно а, получаем

Ответ: при а<0 или 0<а<решений нет, при а=0 х=0, при а≥ х=.c:\documents and settings\лаборант\мои документы\мои рисунки\controlcenter3\scan\ccf21022012_00000.jpg

3.Задачи, для решения которых используется уравнение окружности.

1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых существует хотя бы одно значение х, удовлетворяющее условиям х22=4 и х2+(5а+2)х+4а2+2а<0.

Решение.

Первое уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 4. Неравенство раскладываем на множители. (х+а)(х+4а+2)<0 .

Строим прямые х=-а и х=-4а-2. Неравенство задает часть плоскости, которая находится внутри пары вертикальных углов, ограниченных прямыми х=а и х=-4а-2. (Нужная часть выбирается, подставляя координаты произвольной точки из внутренней части угла в неравенство).

Итак, условия задают две дуги окружности с концами в точках В и С, D и Е.

Проводим прямые, перпендикулярные параметрической оси. Уточняем абсциссы точек В, С, D, Е, решая системы и

Ответ: при -<а<-или 0<а<.

3.Найдите все значения а, при каждом из которых система

имеет решения.

Ответ: -<а<-3 и 0<а<.

4. Найдите все значения а, при каждом из которых система

имеет решения.

Ответ: -2<а<- или 0<а<2

5. Найдите все значения а, при каждом из которых система

имеет решения.

Ответ: -<а<- или 0<а<

6. Найдите все значения а, при каждом из которых система

имеет решения.

Ответ: -3<а<-или 0<а<3.



  1. Графические приемы решения задач с параметрами в системе «переменная – переменная».

1.Параллельный перенос одного из графиков.

а) параллельный перенос прямой.

1. Постройте график функции y= и определите, при каких значениях с прямая y=c не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ: с=-1.

2. Постройте график функции y= и определите, при каких значениях с прямая y=c не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ: с=4.

3. Постройте график функции y= и определите, при каких значениях с прямая y=с имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ:

4. Постройте график функции y= и определите, при каких значениях с прямая y=с имеет с графиком ровно две общие точки.



Ответ:

5. При всех значениях а решить неравенство |х-2|+|х-1|≥2а+3.

Ответ: при а≤-1 любое х является решением, при а>-1 х (-∞;-а] или [а+3;+∞).

6.Найдите все значения а, при которых график функции f(x)=х2-lх2+2х-3l-а пересекает ось абсцисс более, чем в двух различных точках.

Решение. Рассмотрим вспомогательную функцию g(x)= х2-lх2+2х-3l. Раскроем знак модуля по определению, получим кусочно-заданную функцию g(x)=.c:\documents and settings\лаборант\мои документы\мои рисунки\controlcenter3\scan\ccf21022012_00001.jpg

График функции f(x) пересекает ось абсцисс в трёх или более точках, если уравнение g(x)=а имеет более двух различных корней.

График функции состоит из двух лучей и дуги параболы. На рисунке видно, что уравнение g(x)=а имеет более двух корней, только если
g(- )g(1). g(-)=-3,5; g(1)=1.

Ответ: -3,5.

7. Найдите все значения а, при которых график функции f(x)=х2-3х+2-lх2-5х+4l-а пересекает ось абсцисс менее, чем в трех различных точках.

Ответ: а

8.В зависимости от значения параметра а определите количество корней уравнения

(х-3)

Ответ: если а

9.Найти все значения параметра а, при которых уравнение



Ответ: а=2 или а=3

10.Найти наибольшее натуральное число а, при котором уравнение х3+3х2-9х=а имеет два корня (для построения графика функция y= х3+3х2-9х исследуется с помощью производной).

Ответ: 27

11. Найти наименьшее натуральное число а, при котором уравнение х3+х2-12х=а имеет один корень.

Ответ: 33

12.При каких целых значениях а уравнение х2(х-4)+а=0 имеет ровно 3 корня?

Ответ: 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

13.Найти значения а, при которых уравнение 7-2х) имеет хотя бы одно решение.

Используя тригонометрические формулы и подстановку t=

Ответ: 0

14.При каких значениях а уравнение 3=-17 имеет корень?

Ответ: 0

б) Параллельный перенос «уголка».

1.При каких значениях параметра а система уравнений имеет ровно 2 решения?

Ответ: при а=-или -1.

2.Найти все значения а, при каждом из которых множеством решений неравенства является отрезок.

Ответ: 1 или .

3. Найти все значения а, при каждом из которых множеством решений неравенства является отрезок.

Решение. Имеем


E F

Правая часть этого неравенства задает семейство «уголков», вершины которого лежат на прямой y=3. Если вершина «уголка» находится между точками А и В, то обязательно найдутся промежутки области определения, на которой график левой части неравенства не выше графика правой части. На рис. Показано одно из промежуточных положения «уголка» с вершиной С. В этом случае решением исходного неравенства будут все точки отрезка MN. Точка В получается при а=-8, точка А –при а=4. Легко показать, что при а(-8;4) вершина «уголка» находится между точками А и В, и возникает желание считать промежуток (-8;4) искомым ответом. Но условие задачи требует, чтобы решением неравенства был отрезок числовой прямой. А если вершина «уголка» совпадает с любой из точек отрезка EF, включая E и не включая F(рис. ,точка F соответствует моменту касания), то решением неравенства будет или отрезок, или точка, или два отрезка. Определяем координаты точек E и F.

Ответ: -8 или -2.

4.Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение.

Ответ: а=-8 или а=-4.
в) Параллельный перенос окружности.

1.Найти все значения параметра p, при которых система имеет решения.

Ответ: -2.

2. Найти наименьшее значение с, при котором система единственное решение.



3.Найти наибольшее значение с, при котором система уравнений имеет единственное решение.

Ответ: с=

2.Параметр –угловой коэффициент прямой.

1.Постройте график функции y= и определите, при каких значениях k прямая y=kx не будет иметь с построенным графиком ни одной общей точки.

Ответ:0; -.

2. Постройте график функции y= и определите, при каких значениях k прямая y=kx не будет иметь с построенным графиком ни одной общей точки.

Ответ: 0; -; .

3.Найдите все значения а, при которых уравнение

Ответ: -3

4.Найти значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

Ответ: при а=.

5.В зависимости от а найти количество решений системы Решение. Используя определение и свойства логарифмов, перепишем систему в виде:



Ответ: при 0 2 решения;

при а 1 решение;

при а=-3 или а нет решений.

6.Найти все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.

Ответ: -1



3.Окружность с меняющимся радиусом.

1.Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет два решения.

Ответ: при а=-3.

2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет два решения.

Ответ: при а=2,5.

3.Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно 8 решений.

Решение. ;

Первые два условия задают полуокружности с изменяющимся радиусом и с центрами в начале координат (семейство гомотетичных полуокружностей). Последнее равенство – семейство прямых, параллельных оси абсцисс. С увеличением радиуса растет число корней исходного уравнения. Их будет ровно 8, если 6

Так как r=, то -8 или 6.

Ответ: при -8 или 6.

4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение =0 имеет ровно 8 решений.

Ответ: при -8 или 6.

5.Найдите все значения а, при которых уравнение =0 имеет нечетное число решений.

Ответ:

6.Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.

Ответ: -2;3.

7. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.

Ответ: -; 2.

8.Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение.

Решение. Если



задает окружность с центром в точке радиуса 2, а если x<0, то оно задает окружность с центром в точке (-6;12) того же радиуса.

При положительных значениях параметра а уравнение задает окружность с центром в точке С(-1;0) радиуса а. поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра а, при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и .

Из точки С проведем луч СС1 и обозначим А1 и В1 точки его пересечения с окружностью , где А1 лежит между С и С1. Так как СС1==, то СА1=-2, СВ1=+2.

При а<СА1 или а>СВ1 окружности и 1 не пересекаются.

При СА1<а<СВ1 окружности и 1 имеют две общие точки.

При СА1=а или СВ1=а окружности и 1 касаются.

Аналогично рассуждаем с окружностями и 2.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей 2 1 и не пересекаются с другой. Так как СА2121, то условию задачи удовлетворяют только числа а=11 и а=

Ответ: 11,

9. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение.



Ответ:


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница