Дубнов A. "Падение Запада" и глобальные проблемы человечества




страница7/38
Дата16.06.2016
Размер8.55 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   38
4

Будь математика просто наукой, подобно астрономии и


минералогии, ее предмет было бы легко определить. Но по
отношению к ней никто не может и не мог этого сделать. Если мы, западноевропейцы, насильственно распространяем наши числовые понятия на то, что занимало математиков в Афинах или Багдаде, все же остается несомненным, что тема, цель и методы науки, носящей то же название, были там совсем иными. Не существует одной науки математики, есть многие математики. То, что мы называем историей математики, понимая под этим прогрессирующую проверку единственного и неизменного идеала, является в действительности, если только устранить обманчивую картину внешних явлений истории, множественностью законченных в себе, независимых процессов, постоянным нарождением новых, усвоением, переработкой и устранением чуждых миров форм, чисто органическими, ограниченными известной длительностью расцветом, зрелостью, увяданием и смертью. Не следует впадать в ошибку. Аисторический греческий дух создал свою математику из ничего, исторически настроенный дух Запада, обладавший уже заимствованной античной наукой, - усвоенной внешне, а не внутренне, - принужден был приобретать собственным путем кажущихся изменений и усовершенствований, в действительности же путем разрушения неадекватной ему эвклидовской. Одно было сделано Пифагором, другое Декартом. Оба акта в глубине идентичны.

116


Равным образом не подлежит сомнению сродство языка
форм математики и языка форм соседних больших искусств.
Целью всей математики является законченная в себе система
положений, являющая собой синтетический априорный распорядок всего неподвижного, протяженного, т.е. то же непрерывное искание синтеза, которое мы встречаем в проблеме формы каждого изобразительного искусства, в борьбе каждого отдельного художника в своей области за техническое мастерство. Чувство формы скульптора, художника и композитора по существу является математическим. В аналитической и начертательной геометрии XVII века вскрывается тот же распорядок, который вызывает к жизни, охватывает и стремится насквозь проникнуть в современную ей инструментальную музыку (фугированного стиля) и родственную ей масляную живопись, первую при помощи правил контрапункта, этой геометрии звукового пространства, вторую при помощи известной одному только Западу перспективы, этой почувствованной геометрии пространства картины. Это есть то, что Гёте называет идеей, образ которой непосредственно созерцается в чувственном, в то время как собственно наука не созерцает, но только наблюдает и разлагает. Но математика ведет дальше, чем наблюдение и разложение. В минуты возвышения она действует интуитивно, а не путем абстрагирования. Гёте принадлежит глубокое слово, что математик постольку является совершенным, поскольку он ощущает в себе красоту истины. Здесь мы чувствуем, как близка тайна феномена чисел тайне художественной формы, которая также имеет своей целью многозначительное отграничение, прекрасную меру, уравновешенное величие, строгие взаимоотношения, гармонию, короче говоря, совершенный распорядок чувственного. Таким образом, прирожденный математик становится в один ряд с великими мастерами фуги, резца и кисти, которые также стремятся одеть в символы, осуществить и сообщить другим тот великий распорядок всех вещей, который рядовой современник их культуры носит в себе, не умея в действительности им овладеть. Таким образом царство чисел становится интуитивным отображением мировой формы, наряду с царством звуков, линий и красок. Поэтому слово "творческое" в приложении к математике имеет большее значение, чем в приложении к собственным наукам. Ньютон, Гаусс, Риман были художественными натурами. Стоит только вспомнить как внезапно их осеняли их великие концепции. "Математик, - говорит старик Вейерштрас, - в котором вместе с тем нет частицы поэта, не может быть совершенным математиком".

117


Итак, математика - тоже искусство. У нее есть свои стили и периоды стилей. В противоположность мнению непосвященного или философа, поскольку последний судит как непосвященный, она по своей сущности не неизменна, но, как и всякое искусство, подвержена от эпохи к эпохе незаметным изменениям. Следовало бы при изображении развития больших искусств постоянно иметь в виду современную математику, что оказалось бы далеко не бесплодным. Подробности глубоких взаимоотношений между направлениями в теории музыки, начиная с Орландо Лассо, и фазами развития теории функции никогда не были предметом исследования, однако эстетика могла бы почерпнуть отсюда гораздо больше поучи тельного, чем из всякой "психологии". Все великие математики, начиная с Ферма, Паскаля и Декарта (1630 г.), быт трансцендентальными аналитиками, все же древние, начиная с Пифагора (540 г.) - зрительно-телесно мыслящими натурами. Нужно ли еще раз указывать на тесную связь этих дарований с начинающимся расцветом чистой инструментальной музыки в первом случае, и ионической мраморной скульптуры - во втором? Античная математика, вначале почта исключительно планиметрическая, в своем развитии от Пифагора до Архимеда, обнаруживает тенденцию к стереометрическому пониманию всего числимого. Этому соответствует тенденция плоской живописи аттическо-коринфского стиля к полной пластике через промежуточную стадию рельефа, наложенного на плоскость. Статуя возникла частью из фигурно-рельефообразно-обделанной колонны (Гера Херамия), частью из деревянных или бронзовых пластинок, служивших отделкой стены (Артемида Никандры). И дерево и порос обрабатывались при помощи резца, однако только ваяние из мрамора при помощи долота вполне отвечало художественному чувству создания тела. Соответствующий процесс наблюдается и на Западе. В то время, как так называемая геометрия превращается в анализ чистого пространства, из которого шаг за шагом устраняется все оптическое - как далеко, например, понятие координат у Декарта ушло вперед по сравнению с Ферма - одновременно и инструментальная музыка приобретает новые средства выражения. С 1520 г. изобретенная в Верхней Италии скрипка начинает заменять лютню. Фагот делается известным с 1525 г. В Германии в течение XVI и XVII столетий орган развился в покоряющий пространство инструмент. Монтеверди (1567-1643), положивший изобретением доминантсепт-аккорда начало собственной хроматики, имел в своем распоряжении первый настоящий оркестр, а в 1630 г. в лице Фрескобальди появляется

118


первый большой виртуоз на органе. Рядом с analysis situs, этим венцом творчества Лейбница, стоит мощная символика пространства последних созданий Рембрандта, умершего в 1669 г., а именно: автопортрета в Мюнхене, Дармштадтского Христа и Евангелиста Матфея.
Еще одно обстоятельство, несомненно, отличает стремление к форме всякой математики от чисто научных целей любой физики и химии и сближает ее с изобразительными искусствами: элементы ее, а именно неподвижные числа, независимо от того, имеют ли они наглядный или трансцендентальный характер, являются не какой-либо эмпирической действительностью, а чистыми формами протяженного, как орнаментальные линии или музыкальные гармонии, а приемы ее, следовательно, говоря словами Канта, синтетичны, или, говоря художественным языком, представляют собой композицию, в каковой художник подчинен высшей необходимости - априорному Канта. Пусть в популярных частях любой математики это менее заметно; но числовые образования высшего порядка, к которым каждая из них восходит своими отличными путями, как-то: индийская децимальная система, античные группы конусных сечений, простых чисел и правильных полиэдров, на Западе - числовые тела, пространства многих измерений, в высшей степени трансцендентальные образования учений о трансформации и о множествах, группа неэвклидовских геометрий - все они уже не имеют исключительно рассудочного происхождения, и для полного понимания их глубоких, вполне метафизических оснований необходим известный род визионерного ясновидения. Здесь дело
сводится к внутреннему переживанию, а не только к познанию. Только с этого пункта начинается большая символика чисел. Эти формы, родившиеся во имя определенной культуры в душе великих мастеров, как выражение глубочайших тайн ее мироощущения открывают посвященному как бы первооснову его существования. Нужно, чтобы эти создания действовали на нашу душу, как внутренность соборов, как стихи ангелов из пролога "Фауста" или кантаты Баха, для чего необходимы счастливые и редкие минуты. Только тот, кто способен на это - а зрелые умы всегда будут редки - поймет, почему Платон называл вечные идеи своего космоса числами .
5

Когда в пифагорейских кругах около 540 г. пришли к убеждению, что сущность всех вещей заключается в числах, тогда не только был сделан шаг вперед в развитии

119

математики, но родилась новая математика из глубин антично)


духовной стихии, и возникла сознательная теория, задолго
предвозвещенная в метафизических проблемах и поисках художественной формы. Это была совершенно новая математика наряду с навсегда оставшейся не написанной математиком египетской культуры и алгебраически-астрономически по строенной математикой вавилонской культуры с ее эклиптическими системами координат, математиками, однажды родившимися в великую минуту истории и в то время давно уже умершими. Пришедшая в дряхлость ко времени римлян античная математика умерла для живой жизни, несмотря на сохранившуюся в нашем способе выражаться до настоящей: времени видимость существования, чтобы много позднее и к иной далекой местности уступить место арабской; после тоге как и эта отжила свое время, через долгий промежуток времени, на смену ей явилось совершенно новое порождение новой почвы, наша математика, которую мы в странном ослеплении считаем математикой вообще, вершиной и целью двухтысячелетнего развития, но жизнь которой, строго ограниченная назначенными ей столетиями, также близится к своему окончанию.
Изречение, гласящее, что число составляет сущность всех
чувственно осязаемых вещей, осталось наиболее ценным положением античной математики. Оно определяет число как меру. В нем заключено все мироощущение души, страстно обращенной к настоящему и здешнему- Измерять в этом смысле - значит измерять что-либо близкое и телесное. Представим себе квинтэссенцию античного искусства, свободно стоящую статую нагого человека: в ней, при помощи плоскостей, меры и чувственного соотношения частей, исчерпывающе передано все существенное и значительное бытия, весь его этос. Пифагоровское понятие гармонии чисел, хотя, вероятно, и ведущее свое начало от - одноголосной - музыки, представляется как бы нарочно приспособленным к идеалу этой пластики. Обделанный камень лишь постольку и являет собой нечто, поскольку у него есть уравновешенные границы и измеренные формы, поскольку он получил осуществление под резцом художника. Без этого он только хаос, нечто еще не осуществленное, покамест еще ничто. Это ощущение, перенесенное в более обширные области, порождает в качестве противоположности хаосу космос, внешний мир античной души, гармонический распорядок всех заключенных в соответствующие границы осязаемо-наличных отдельных предметов. Сумма таких предметов и есть вселенная. Промежуток между ними, наше преисполненное всем пафосом высокого символа

120


мировое пространство есть ничто, ?? ?? ??. Протяженность для античных людей значит телесность, для нас - пространство, в котором отдельные предметы "являются" функцией. Обратив наш взгляд отсюда назад, мы, может, разгадаем глубочайшее понятие античной метафизики, а именно ’??????? Анаксимандра, слово, непереводимое ни на один из языков Запада; это то, что не имеет никакого числа в пифагорейском смысле, никаких измеряемых границ и величины, следовательно, не есть существо, а нечто безмерное и лишенное формы, статуя, еще не изваянная из куска камня. Это ???? , нечто лишенное оптических границ и формы, из которого только путем образования границ, разделения на чувственно самостоятельные предметы, возникает что-то, а именно мир. Таким образом, в основе античного познания в качестве априорной формы лежит телесность в себе, чему в Кантовой картине мира точно соответствует абсолютное пространство, исходя из которого Кант, по собственному признанию, мог "мысленно вывести все вещи".
Теперь становится понятным, в чем отличие одной математики от другой, в особенности античной от современной. Согласно всему своему мирочувствованию зрелое античное мышление могло видеть в математике только ученье о соотношении величин, мер и форм физических тел. Когда, руководствуясь этим ощущением, Пифагор изрек свою основную формулу, для него число было именно оптическим символом, не формой вообще или абстрактным отношением, но разграничивающим признаком ставшего, поскольку последнее проявляется в чувственно обозримых подробностях. Вся античность без исключения воспринимает числа как единицы меры, как величины, длины и поверхности. Другой род протяженности недоступен ее представлению. Вся античная математика в основе своей есть стереометрия. Эвклид, живший в III веке и приведший всю систему к завершению, говоря о треугольнике, с внутреннею необходимостью представляет себе поверхность, ограничивающую тело, но никогда не систему трех пересекающихся прямых линий или группу трех точек в пространстве трех измерений. Линию он определяет названием "длина без ширины" ?????’??????? . При нашем способе выражаться это определение показалось бы убогим. В границах античной математики оно превосходно.
И наше западное число, в противность мнению Канта и
даже Гельмгольца, не развилось из "априорной формы созерцания времени", но в качестве распорядка однообразных величин представляет собой нечто специфически пространственное. Время, как это станет понятным на основании

121


дальнейшего, не имеет ничего общего с математическими предметами. Числа принадлежат исключительно сфере протяженного. Но имеется столько же возможностей и, следовательно необходимостей систематически изобразить протяженность сколько имеется культур. Античное число не есть мышление о пространственных отношениях, но мышление об отграниченных для телесного глаза, осязаемых единицах. Поэтому античность - это вытекает с полной необходимостью - знает только естественные (положительные, целые) числа, которые среди многих в высшей степени абстрактных родов чисел западной математики, как-то: комплексных, гиперкомплексных, неархимедовских и иных систем, занимают обычное, ничем не выделяющееся положение.
Поэтому представление об иррациональных числах, или,
по нашему начертанию, о бесконечных десятичных дробях,
осталось для греческого духа совершенно недоступным. Эвклид говорит - и следовало бы точнее принимать смысл его слов, - что несоизмеримые расстояния относятся между собой "не как числа". Действительно, в законченном понятии иррациональных чисел лежит полное отделение понятия числа от понятия величины, причина этому та, что иррациональное число, например л , никогда не может быть отграничено или точно выражено при помощи известного расстояния. Из этого следует, что, например, в представлении об отношении стороны квадрата к его диагонали, античное число, представляющее собой, собственно, чувственную границу, замкнутую величину, и ничто иное, соприкасается с совершенно иной числовой идеей, в самой своей сути чуждой античному
мирочувствованию и поэтому жуткой, как будто бы речь идет
о том, чтобы открыть опасную тайну собственного существования. На это указывает позднегреческий миф, согласно которому тот, кто впервые извлек рассмотрение иррационального из сокровенности и предал его гласности, погиб при кораблекрушении, "так как невысказываемое и безобразное должно постоянно оставаться сокровенным". Кто поймет страх, лежащий в основе этого мифа - тот же страх, который постоянно удерживал греков зрелого времени от расширения их крохотных городов-государств в политически организованные страны, от устройства широких проспектов и аллей с далеким видом и рассчитанным завершением, от вавилонской астрономии с ее устремлением в бесконечные звездные пространства, от преодоления границ Средиземного моря и исследования путей, давно открытых кораблями египтян и финикиян, эту глубокую метафизическую боязнь перед преодолением осязательно-чувственного и настоящего, при помощи которого

122


античное существование окружило себя как бы защитной стеной, за пределами которой лежало что-то жуткое, бездна и первоисточник в известной мере искусственно созданного и утвержденного космоса, - кто поймет это чувство, тому станет понятным основная сущность античного числа, являвшего собой меру в противоположность неизмеримому, а также глубокий религиозный этос, выражающийся в этом ограничении. Гёте в качестве художника с большой страстностью усвоил себе, по крайней мере в своих естественно-исторических исследованиях, эту точку зрения; отсюда его, можно сказать, исполненная страхом полемика против математики, инстинктивно направленная главным образом, чего еще никто как следует не понял, против всей неантичной математики и лежавшего в основе современного ему естествознания счисления
бесконечно малых.
Античная религиозность с возрастающей определенностью
сосредоточивается на чувственно непосредственных - связанных с местом - культах, вполне отражающих это наделенное образом, всегда близкое, божество. Абстрактные, в бесприютных пространствах мышления витающие догматы всегда оставались ей чуждыми. Культ и догмат относятся друг к другу, как статуя к органу в соборе. В Эвклидовой математике, несомненно, остается что-то культовое. Достаточно припомнить учение о правильных многогранниках и их значение для эзотерики платоновской школы. Этому соответствует, с другой стороны, глубокое сродство анализа бесконечности начиная с Декарта с современной ему догматикой, устремляющейся к чистому, освобожденному от всяких чувственных отношений деизму. Вольтер, Лагранж и д'Аламбер современники. Из недр античного духа принцип иррационального, т.е. разрушение статуарного ряда целых чисел, этих представителей совершенного в себе миропорядка, воспринимали как некоего рода святотатство против божества. У Платона в "Тимее" это чувство выступает с полной очевидностью. Действительно, с превращением прерывающегося числового ряда в непрерывный, оказывается под вопросом не только античное понятие числа, но и весь античный мир. Становится понятным, что для античной математики совершенно невозможны легко укладывающиеся в наше представление отрицательные числа, не говоря уже о нуле как числе - обладающем для индийской души, впервые создавшей это понятие, вполне определенным метафизическим привкусом. Отрицательные величины не существуют. Выражение: -2? -3 =+6 не является ни наглядным, ни представлением величины. На +1 кончается ряд величин. В графическом

123


изображении отрицательных чисел (+3--,+2--,+1--,0--,-1--,-2--,-3,),
начиная с нуля расстояния вдруг становятся положительными символами чего-то отрицательного. Они обозначают
что-то, но уже не существуют реально. Отрицательные числа не величины, но что-то такое, на что величины только намекают. Осуществление этого акта отклоняется от линий направления античного числового мышления.
Все родившееся из античного духа становится действительностью только путем пластического отграничения. То, что нельзя нарисовать, - не "число". Платон, Архит и Эвдокс говорят о плоскостных и телесных числах, имея в виду нашу вторую или третью степень, и, само собой разумеется, что понятие высших целых степеней для них не существует. Четвертая степень для являющегося по существу своему пластическим чувства, которое тотчас же истолкует ее как протяженность в четырех измерениях, становится бессмыслицей. Постоянно встречающееся в наших формулах выражение е-ix, или даже применявшиеся уже в XIV столетие Оресмом обозначение 51/2 показалось бы античному чувству полным абсурдом. Эвклид называет множители произведения сторонами (???????). В древности оперируют с дробями - конечными само собою разумеется - прибегая к исследованию отношения двух отрезков прямой линии, выражающихся в целых числах. Именно поэтому идея числа нуль тут совершенно не может проявиться, так как графически она бессмысленна. Пусть не возражают, исходя из привычного способа мышления, что это только "первоначальная ступень" в развитии математики. Внутри того мира, который античность создала вокруг себя, античная математика есть нечто законченное. Незаконченной она представляется только нам. Вавилонская и индийская математики давно уже усвоили в качестве существенных элементов своего мира чисел многое из того, что с
точки зрения античного числового чувства являлось бы бессмысленным, и многие греческие мыслители знали об этом. Единая математика, повторяем это еще раз, есть иллюзия. Действительно только то, что адекватно ей, символически значительно для собственной душевной жизни. Только это представляется логически необходимым, все остальное невозможным, ошибочным, бессмысленным, или, как мы привыкли, руководясь гордостью исторического ума, называть "примитивным". Современная математика, одно из высших достижений западного духа - и во всяком случае "истинная" только для нас - показалась бы Платону смешным и бесплодным заблуждением и уклонением на пути к достижению "истинной", конечно, в античном смысле математики, и

124


трудно себе даже представить, сколько великих концепций чуждых культур погибло по нашей вине, так как мы, исходя из нашего способа мышления и заключенные в его границы, не могли их усвоить или, что то же, считали их ложными, излишними и бессмысленными.
6

В качестве ученья о наглядных величинах античная математика ставит себе целью исключительно истолкование наличных фактов и ограничивает, следовательно, свое исследование и пределы применимости предметами близлежащими и малыми. В противоположность этой последовательности, в практических приемах западной математики вскрывается нечто в высшей степени нелогическое; это обстоятельство, однако, стало известным только после открытия неэвклидовых геометрий. Числа суть чистые формы познающего духа. Их точная применимость к реально созерцаемому является, следовательно, самостоятельной проблемой. Совпадение математических систем с эмпирикой далеко не есть нечто само собой понятное. В противоположность предрассудку непосвященных (встречающемуся также у Шопенгауэра) о непосредственной математической очевидности созерцания, эвклидова геометрия, имеющая с популярной геометрией всех времен только самую поверхностную тождественность, в самых только узких пределах ("на бумаге") приблизительным образом согласуется с созерцаемым. Как дело обстоит при больших расстояниях, видно из простого факта, что параллельные линии пересекаются на горизонте. Вся живописная перспектива основана на этом. Тем не менее Кант, беря исходной точкой наивное сравнение величин, совершенно непростительным для западного мыслителя образом уклонялся от "математики далеких пространств" и постоянно, совершенно по-античному, ссылался на маленькие фигуры, на примере которых, вследствие именно их незначительной величины, специфически западная проблема бесконечных как раз не находила себе никакого применения. Эвклид также избегал ссылаться для доказательства справедливости своих аксиом на пример такого треугольника, три вершины которого определялись бы местонахождением наблюдателя и двумя неподвижными звездами, и который, следовательно, не мог быть ни нарисован, "ни созерцаем"; это является, однако, вполне обоснованным для античного мыслителя. В нем действовало то же самое чувство, которое испытывало страх перед иррациональным и не дерзало понять ничто как нуль, как число, то чувство, которое при

125

созерцании космических отношений закрывало глаза на неизмеримое, чтобы сохранить символ меры.


Идеи Аристарха Самосского, около 270 г. начертавшего систему вселенной, при вторичном открытии Коперником так
глубоко взволновавшую метафизические страсти Запада -
стоит только вспомнить Джордано Бруно - и ставшую осуществлением огромных ожиданий и подтверждением того фаустовского, готического мироощущения, которое уже в архитектуре соборов принесло свою жертву идее бесконечного пространства, эти идеи были встречены античностью с полным равнодушием и вскоре - хочется сказать намеренно - были забыты. И действительно, Аристархова система вселенной для этой культуры в душевном смысле лишена значения. Она могла даже стать опасной для ее основной идеи. И все-таки, в отличие от Коперниковой - и этот основной факт оставлялся всегда без внимания - своей особой формулировкой она была точно приноровлена к античному мироощущению. Аристарх в качестве внешней границы космоса принимал телесно вполне ограниченный, оптически усвояемый пустой шар, в середине которого находится мыслимая в Коперниковом смысле планетная система. Таким образом был устранен принцип бесконечного, могший стать опасным для чувственно-античного понимания предела. Мы не встречаем в античности ни одного намека на мысль о бесконечности мирового пространства, каковая мысль, по-видимому, кажется в данном случае неизбежной и давно сделалась доступной вавилонскому мышлению. Даже мы видим обратное. Архимед в своем сочинении о "числе песка" - уже само слово указывает, что здесь мы имеем дело с опровержением всяких тенденций в сторону бесконечного, несмотря на что его все еще считают первым шагом на пути к современному интегральному счислению - доказывает, что это стереометрическое тело (так как Аристархов космос является именно таковым), будучи наполнено атомами (песком), приводит нас к очень большим, однако не бесконечным числовым результатам. Это равносильно отрицанию всего того, что мы называем анализом. Вселенная нашей физики зиждется на строгом отрицании всякой материальной ограниченности, как это доказывают постоянно опровергаемые и вновь навязчиво проникающие в умы теории материального, т.е. условно наглядного мирового эфира. Платон, Аполлоний и Архимед, несомненно самые проницательные и смелые математики древности, создали на основании пластически-античного понятия предела совершенную систему чисто оптического анализа ставшего. Они пользуются глубоко продуманными и малодоступными для

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   38


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница