Четырехугольники




Скачать 51.63 Kb.
Дата08.06.2016
Размер51.63 Kb.
Четырехугольники
І. Произвольный четырехугольник АВСD.
1. А+В+С+D=3600

2. d1, d2 – диагонали

1). S= ½ d1d2sin φ

2). SАОВ * SСОD = SВОС * SАОD



(На основе формулы площади треугольника S= ½ авsinС )


3. 1). МNPQ – параллелограмм, т.к. NP║AC║ MQ,

NP = ½ AC = MQ

Если AC = BD, то MNPQ – ромб.

Если AC ┴ BD, то MNPQ –прямоугольник.

Если AC = BD и AC ┴ BD, то MNPQ – квадрат.

ІІ. Параллелограмм.
1.

а). Биссектрисы соответственных углов параллельны.

б). Биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

в). М – равноудалена от а и b.

2. Определения, свойства, признаки параллелограмма и его частных видов.

3. а).Биссектриса угла отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.

б).Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны.

в).Точка М-пересечение биссектрис равноудалена от АD и ВС→ М принадлежит средней линии параллельных прямых→MN║ BC║ AD и является средней линией.

г).∆AFD, ∆KFC, ∆ABK попарно подобны.





д). SABD= SACD= SBCD= SABC= SABM= ½ SABCD
е).d12 +d22 =2(а22)

ж). S= ahа= bhb = absinA = ½ d1d2sinφ


ІІІ.Трапеция.

1.

а).∆АВF- равнобедренный

б).0, 0

в). М, N равноудалены от прямых ВС и АD→ МN лежит на

средней линии трапеции.

2. а). SABD = SACD , SABC = SDBC , SAOB = SCOD
б). S2AOB = SBOC* SAOD.
в).SAOD ∕SCOB = а22 =АО2/ОС2 ; SAOB/SAOD = OB/OD;

SBOC/SCOD = OB/OD =CO/OA = b/a


г). S = ½(a+b)h = MN *h , т.к. MN – средняя линия

MN= ½ (a+b)
д). SAQB = ½ SABCD


3.


Если AD= BC, то AC = BD, AH = MN (средняя линия),

S = AH *CH.

4. Дополнительные построения.

а).Высоты из вершин меньшего основания.
б). в).
CM║AD→CM = AD, BM = a-b CM║DB→ CM = DB, AM = a+b, SACM=SABCD

г).

MQ║AD , MP║CB → QP = a-b,

Геометрия четырехугольника (подготовка к ЕГЭ-2011).


1.В прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5 вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите периметр квадрата.
2. В параллелограмме ABCD AB = 4, AD = 8. Биссектрисы углов A и В пересекаются в точке К, углов С и Д – в точке М. Найдите КМ.
3. Биссектрисы углов A и D параллелограмма АВСD пересекают сторону BC в точках K и M соответственно, причем эти точки делят сторону BC на три равные части. AK =8, DM = 6. Найдите периметр параллелограмма.
4. На стороне AB параллелограмма ABCD отмечены точки K и M так, что AK = KM = MB. Отрезки CK и DM пересекаются в точке O. Площадь параллелограмма равна 40. Найдите площадь треугольника COD.
5. Дан ромб ABCD, его диагонали равны 6 и 8. Из вершины тупого угла В проведены высоты ВЕ и BF. Найдите площадь четырехугольника.
6. Найдите площадь параллелограмма, если длины его сторон равны a и b , а угол между диагоналями, противолежащий стороне длиной a, равен α.
7. Найдите площадь параллелограмма, если длины его диагоналей равны m и n , а угол параллелограмма, противолежащий диагонали n , равен φ.
8. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки K, L, M и N являются серединами сторон AB, BC, CD, DA соответственно. O– точка пересечения отрезков KM и LN. Известно, что 0
и KM = 3LN. Найдите длины диагоналей AC и BD , если площадь четырехугольника KLMN равна S .
9. Основания трапеции равны 6 и 10, а боковые стороны 2 и 4. Биссектрисы углов при одной боковой стороне пересекаются в точке А, а при другой – в точке В. Найдите АВ.
10. Сумма углов при одном основании трапеции равна 900, а основания равны a и b. Найдите расстояние между серединами оснований.
11. Дана трапеция ABCD с боковыми сторонами AB = 36, CD = 34 и верхним основанием BC = 10. Известно, что cos12. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны и точкой пересечения делятся в отношении 3:4. Площадь четырехугольника с вершинами в серединах сторон трапеции равна 196. Найдите боковую сторону трапеции.
13. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, одно из оснований равно 17, а площадь равна 81. Найдите второе основание трапеции.
14. В трапеции ABCD основания равны 13 и 26, одна из боковых сторон равна 5, а . Найдите площадь трапеции.
15. Основание AD равнобедренной трапеции ABCD в 5 раз больше основания BC. Высота BH пересекает диагональ в точке M, площадь треугольника AMH равна 4. Найдите площадь трапеции.

16. В трапеции ABCD с длинами оснований AD = 12, BC = 8 на луче BC построена такая точка M, что прямая AM делит трапецию на две равновеликие фигуры. Найдите длину CM.


17. Сумма длин высоты и средней линии равнобедренной трапеции равна c, а площадь трапеции равна S. Найдите угол между диагоналями трапеции.
18. В трапеции ABCD основания AD и BC равны a и b соответственно. Через точку Е, принадлежащую стороне AB и делящую ее в отношении AE: BE = m : n, проведена прямая, параллельная основаниям трапеции и пересекающая сторону CD в точке F. Докажите, что

EF =( an +bm)/ (m+n). (Или : Найдите EF).


19. На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD с основаниями AD и BC отмечены точки P и Q соответственно, причем PQ ║AD. Прямая PQ разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 1: 2 . Найдите PQ ,если AD = a и BC = b.
20. В трапеции основания равны 28 и 14, а боковые стороны 13 и 15. Через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям проведена прямая. Найдите площадь получившихся трапеций.
21. В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции.



База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница