Арифметический корень й степени 1



Скачать 202.94 Kb.
Дата07.07.2016
Размер202.94 Kb.
08-09-04. Арифметический корень -й степени
1. Определение арифметического корня n-й степени из неотрицательного числа.

Рассмотренные понятия квадратного и кубического корней допускают обобщение на случай корней четвертой степени, пятой степени, и так далее. При обобщении мы ограничимся изучением свойств арифметических корней.


Пусть неотрицательное число, и натуральное число, большее 1. Арифметическим корнем -ой степени из числа называется неотрицательное число , -я степень которого равна , то есть .
Арифметический корень -ой степени из числа обозначается при и при . Для краткости будем называть корнем -ой степени из числа .

Число называется основанием, а число показателем корня -ой степени из числа .

По определению корня -ой степени для неотрицательного числа имеем равенство


Пример 1. потому что и .
Пример 2. , потому что и .
Пример 3. , потому что и .

Выражения вида , где — выражение, принимающее неотрицательные значения и — натуральное число, большее 1, имеют общее название радикалы. Выражения, содержащие радикалы, называют иррациональными выражениями.



2. Доказательства свойств радикалов основываются на следующем важном свойстве числовых неравенств.

Свойство 1. Пусть — натуральное число. Для неотрицательных чисел и y неравенство равносильно неравенству .

Доказательство. Разберем доказательство на примере .

Пусть . Тогда , а поэтому и . Запишем теперь равенство . В правой части второй множитель равен сумме неотрицательных чисел, из которых число . Поэтому второй множитель положителен, и из записанного равенства следует:

а) если , то ;

б) если , то .

Тем самым равносильность неравенств и доказана.

3. Из доказанной в предыдущем пункте равносильности неравенств и для неотрицательных чисел можно получить новые важные свойства.

Свойство 2. Пусть — натуральное число. Для неотрицательных чисел и из равенства следует равенство .

Доказательство. Пусть . Если предположим, что , то тогда либо , либо . Но из свойства 1 следует, что при выполняется неравенство , а при выполняется неравенство .

Следовательно, предположение о том, что , приводит к противоречию с равенством . Значит, для неотрицательных и из равенства следует равенство .



Свойство 3. Для каждого неотрицательного числа существует единственное значение .

Доказательство. Доказывать существование корня -й степени мы не будем. Единственность получаем из следующего рассуждения. Пусть для неотрицательных чисел и выполняются равенства и , то есть каждое из чисел и является арифметическим корнем - ой степени из числа . Тогда , и на основании свойства 2 получаем, что .

Свойство 4. Если , то .

Доказательство. Обозначим , . Тогда , , и по, условию . Так как и неотрицательны, то по свойству 1 из предыдущего пункта имеем , то есть .

4. Изученные правила действий с квадратными и кубическими корнями обобщаются на случай корней -й степени.

Правило 1. Корень -й степени из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней -й степени из этих чисел.

Доказательство. Рассмотрим выражения и . Тогда по определению

Следовательно, , и на основании свойства 2 из пункта 3.3. получаем нужное равенство





Пример 4.



Правило 2. Корень -й степени из частного, у которого числитель неотрицательный, а знаменатель положительный, равен частному корней -й степени из этих чисел.

Доказательство. Рассмотрим выражения и . Тогда по определению,

Следовательно, , и на основании свойства 2 из пункта 4.3 получаем нужное равенство




Пример 5.


Правило 3. Корень -ой степени из неотрицательного числа в степени равен числу .


Это правило доказывается аналогично доказательствам предыдущих правил.

Пример 6. .

5.** Метод Феррари решения уравнения четвертой степени на примере уравнения .

Одним из корней уравнения четвертой степени вида



при по определению является число . Однако, решение такого уравнения нетрудно свести к решению двух квадратных уравнений. Действительно, многочлен разлагается на множители , а поэтому все корни уравнения получаются как корни двух квадратных уравнений и .

Вскоре после того как была найдена формула Кардано для корней кубического уравнения, был найден и метод решения любого уравнения четвертой степени, известный как метод Феррари.

Метод Феррари заключается в разложении многочлена на два квадратных множителя, для чего составляется вспомогательное кубическое уравнение.

Разберем метод Феррари на примере решения уравнения или .

Введем параметр и выделим у многочлена слагаемое вида , где коэффициент при выбирается равным половине коэффициента при у многочлена . Тогда получим






Подберем теперь параметр таким образом, чтобы многочлен был квадратом линейного многочлена. Как известно, для этого нужно, чтобы дискриминант многочлена был равен нулю, то есть



В результате приходим к кубическому уравнению относительно параметра . В данном примере кубическое уравнение можно решить без общей формулы Кардано, так как оно имеет рациональный корень .

Подставляя это значение , приходим к равенству







Следовательно, уравнение можно записать в виде , и его решение сводится к решению двух квадратных уравнений и .

В общем случае метод Феррари нахождения корней уравнения четвертой степени точно такой же, как и в рассмотренном примере.



6. Решение биквадратного уравнения.

Уравнения четвертой степени вида



где , ,  — фиксированные числа и , называют биквадратными.

С помощью замены неизвестных решение биквадратного уравнения сводится к решению квадратного уравнения.
Пример 7. Решим уравнение .

Пусть . Тогда уравнение относительно неизвестной запишется в виде . Следовательно,





откуда




Для нахождения неизвестных получаем два уравнения:

, , откуда , ;

, , откуда , .

В результате найдены четыре корня 3, , 2, исходного биквадратного уравнения.



7. ** Применение метода Феррари к биквадратному уравнению.

Рассмотрим биквадратное уравнение




Так как , то, поделив обе части на число , получим биквадратное уравнение вида , где , .

Покажем, что применение к этому уравнению общего метода Феррари приводит к такому же результату, что и метод, рассмотренный в предыдущем пункте.

У многочлена коэффициент при равен нулю. Поэтому введем параметр и выделим слагаемое вида :


Приравниваем теперь к нулю дискриминант квадратного трехчлена :


Один из корней полученного кубического уравнения находится сразу: . Тогда




Следовательно, все корни биквадратного уравнения находятся как корни уравнений

и


Нетрудно видеть, что при замене уравнение записывается в виде квадратного уравнения , корни которого

и


Поэтому дальнейшее решение биквадратного уравнения сводится к решению таких же уравнений, которые были получены методом Феррари.

8. ** Открытие общих методов решения уравнений третьей и четвертой степени стимулировало поиск общих методов решения уравнений пятой и более высоких степеней. Однако, несмотря на усилия великих математиков своего времени, решить уравнение пятой степени не удавалось. Как оказалось, никакой формулы, выражающей с помощью радикалов корни уравнения пятой степени через его коэффициенты, не существует. Это доказал в 1824 году молодой норвежский математик Нильс Хенрик Абель. Доказательство неразрешимости уравнения пятой степени в радикалах является одним из выдающихся достижений математики и привело к появлению новых направлений в математике, которые продолжают развиваться и в наше время.
Контрольные вопросы
1. Какое число называется арифметическим корнем -ой степени из неотрицательного числа ?

2. Как называются выражения вида ?

3. Как называются выражения, содержащие радикалы?

4. Чему равен корень -ой степени из 0?

5. Пусть . Что можно сказать об арифметических корнях и ?

6. Что можно сказать о двух неотрицательных числах и , если арифметические корни -ой степени из этих чисел равны между собой?

7. Сколько существует значений арифметического корня -ой степени из неотрицательного числа ?

8. Существует ли арифметический корень -ой степени из отрицательного числа?

9. Чему равен арифметический корень -ой степени из произведения двух неотрицательных чисел?

10. Чему равен арифметический корень -ой степени из частного двух неотрицательных чисел?

11. Чему равен арифметический корень -ой степени из числа , где — неотрицательное число?

12. Чему равно произведение , где и — неотрицательные числа?

13. Чему равно частное , где – неотрицательное, а — положительное число?

14. Какое уравнение называется биквадратным? Чему равна степень этого уравнения?
Задачи и упражнения
1. Запишите равенства с помощью радикалов:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .


2. Найдите арифметический корень:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) .


3. Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) ; л) ;

м) ; н) .
4. Внесите множители под радикал:

а) ; б) ; в) .


5.*Упростите выражения:

а) ;

б) .
6. Преобразуйте выражения:

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; .
7. Запишите в виде радикала:

а) ; б) .


8. Упростите:

а) ; б) .


9. Преобразуйте выражения:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .
10. Какое из чисел больше:

а) или ; б) или ;

в) или ; г) или .
11. Решите уравнение .
12. Решите биквадратные уравнения:

а) ; б) .


Указания к решению наиболее трудных задач.

Задача 5. Указания. а) Выражение под корнем можно представить в виде .

б) Так как , то . Поэтому заданное выражение равно



.

Задача 10. Указания. а) Возвести оба числа в 12-ю степень; б) возвести оба числа в 21-ю степень; в) возвести оба числа в третью степень; г) возвести оба числа в 60-ю степень; эту задачу можно решить и по-другому, а именно, .

Задача 11. Указание. С помощью теоремы Гаусса находится целый корень . Это позволяет разложить левую часть уравнения на множители. В результате нахождение других корней сводится к решению кубического уравнения.
Каталог: file.php
file.php -> Методические рекомендации для преподавателя Методические рекомендации для студентов
file.php -> Литература Демографическое настоящее и будущее России / под ред. В. Ф. Колбанова и Л. Л. Рыбаковского. М.: Эконом-Информ, 2012. 323 с
file.php -> Моделирование рабочего цикла поршневых двс с учётом динамики выгорания топлива
file.php -> Учебный план №3898, 4066 ифксиМП. 290. 62. 2014 Код ооп направление Профиль
file.php -> -
file.php -> Государственное регулирование экономики


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница