Актуальные проблемы современной когнитивной науки




страница9/61
Дата05.08.2016
Размер5.02 Mb.
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   61

С.Р. Когаловский


Шуйский государственный педагогический университет

ОБ ОБУЧЕНИИ ШКОЛЬНИКОВ ГЕОМЕТРИИ С КОГНИТИВИСТСКИХ ПОЗИЦИЙ

Пространственные представления, пространственные формы входят в число базисных компонентов когнитивной репрезентативной структуры человека. Первичные количественные отношения выступают в пространственных формах. Развитие понятия числа происходило, прежде всего, в связи с задачами измерения величин как с задачами, относящимися к пространственным формам. Рождение аналитической геометрии, ставшее возможным на базе развития арифметики, привело не только к возможности представлений пространственных образов в арифметической форме, но, что оказалось не менее значимым, к продуктивному использованию пространственных форм как к средству представления количественных отношений. Развитие количественных методов происходит с развитием их знаковых представлений. Овладение знаковыми формами превращает их в знаки иконические. Тем самым происходит «слияние» количественных отношений с подходящими пространственными формами. Таким образом, развитие количественных методов сопровождается возвращениями к их «материнскому», пространственному «лону» в новых формах и на новой основе.

Не случайно математика как наука возникла именно в геометрической форме. И именно геометрическая ее форма способствовала уже достаточно ранней ее направленности на обретение аксиоматической формы. Сама идея «умозрительного» доказательства, то есть доказательства чисто логическими средствами, требует выделения первопонятий, а с ними и первоистин.

Особая роль школьного курса геометрии как эффективного средства развития математических, а с ними и общих умственных способностей учащихся, состоит в том, что в обучении геометрии особенно зримо и активно взаимодействуют интуиция и логика, наглядно-образный и метапредметный уровни мышления, «низшие» и «высшие» его формы, прикладной и теоретический планы. Развитие пространственных представлений человека – это развитие его первоориентиров в физическом мире, это развитие его мировоззрения. И потому приобщение к аксиоматическому методу естественно и продуктивно осуществлять посредством обучения геометрии.

Обращение к задаче формирования эффективного способа приобщения школьников к аксиоматическому методу через восхождение к аксиоматической геометрии помогает прояснению путей их логического развития через обучение математике и природы трудностей, возникающих на этом пути.

Трудно найти другую такую задачу методики обучения математике, которая настолько тесно была бы связана с целями и задачами обучения математике в старшей школе, такую, которая была бы настолько тесно связана со всеми целями и средствами, предполагаемыми стандартами второго поколения. В конечном счете это задача, направленная на формирование способности к восхождению от уровня обыденных представлений на рациональный уровень, это задача формирования способности к построению и использованию продуктивных моделей сложных систем, несущих эффективные методы их исследования.

Уже следующие общие соображения показывают, что формирование эффективного способа приобщения учащихся к существу аксиоматического метода, раскрывающего несомые им возможности, является трудной задачей. Восхождение, например, от протопонятий предела, непрерывности, касательной к строгим понятиям, являющимся их продуктивными моделями, – это восхождение на теоретический уровень математической деятельности. Аксиоматический метод несет восхождение на еще более высокий теоретический уровень, предполагающий не только более глубокий анализ предметного плана, но и анализ самих познавательных средств. Освоение аксиоматического метода требует прямого участия в процессах построения аксиоматических теорий.

Процесс аксиоматизации теории, построенной на полуинтуитивной основе, – это процесс преображения ее как сложной целостности, осуществление которого требует восхождения на высокий уровень абстрагирования. Это процесс созидания ее продуктивной абстрактной модели, становящейся тем самым и моделью других теорий, как наличествующих, так и возможных. Он осуществляется посредством деконструкции теории, посредством выявления значимых свойств ее ведущих понятий и значимых отношений между ведущими понятиями и «отделения» этих свойств и отношений от их носителей, посредством «опредмечивания» этих свойств.

Аксиоматизация теории – это подготовка и осуществление прорыва на новый уровень ее развития, приводящего к новым процедурам, новым значениям и смыслам, новым ценностям, к новому уровню ориентировки, к новым направлениям развития теории. Аксиоматическая теория осваивается только при погружении в процесс формирования ее как продукта этого процесса, как продукта преображения исходной теории. То, насколько радикальное преображение мыследеятельности несет переход от теории, строящейся на полуинтуитивной основе, к формируемой на ее базе аксиоматической теории, показывает уже то, что аксиоматическая теория становится нечленимым целым, что ведущие понятия исходной теории при таком переходе превращаются в такие элементы аксиоматической теории, что отдельное их рассмотрение, рассмотрение вне рамок этого целого, становится невозможным.

Аксиоматическое подход к геометрии осуществим как путь, ведущий к развитию представлений о привычном нам пространственном мире как целом и их преображению. Открытие средств эффективного исследования этого мира открывается через его сопоставление с другими, возможными мирами, или, что то же, через сопоставление привычного способа «видения» этого мира с другими способами его «видения». Такая возможность реализуема построением разных «семантик» для традиционного «синтаксиса» школьной геометрии и их сопоставлением.

Аксиоматический метод в роли предмета изучения в курсе математики общеобразовательной школы не обижен не только множеством приверженцев (что совершенно естественно), но и радикально настроенными противниками (что настолько же естественно). При всей кажущейся убедительности аргументов его противников их анализ показывает, что эти аргументы относятся, по сути, не к самому аксиоматическому методу, не к его существу, не к вопросам о степени его значимости в математике и обучении математике, а к традиционному способу приобщения к нему школьников, следующему как образцу «Началам» Евклида. Такой способ основывается на подмене логики поисково-исследовательской деятельности, логики овладения ее стратегиями и их использования логикой усвоения систематизированного итога этой деятельности. Для такого способа характерна гипертрофия формально-логического плана. А это не способствует постижению существа аксиоматического метода и несомых им возможностей. Это не способствует и логическому развитию учащихся, такому, которое несло бы их математическое и общее интеллектуальное развитие. Такое логическое развитие невозможно как логическое развитие само по себе, как чисто логическое развитие. Формальная логика является весьма важным, но лишь одним из многих компонентов математической деятельности и лишь одной из множества логик, осознанно или неосознанно участвующих в ней и активно взаимодействующих. И потому логическое развитие учащегося, отвечающее задаче его математического развития, осуществимо через взаимодействия этого компонента со многими другими компонентами математической деятельности, через соотнесенность его с этой деятельностью как части с целым. Говоря почти словами Выготского, компоненты деятельности участвуют в ней не столько как самостоятельно развивающиеся сообразно логике собственных закономерностей, сколько опосредованно, как направленные на решение определенной задачи и приведенные в такое сочетание, такой синтез, внутри которого каждый из них обретает свое истинное функциональное значение1.

Приобщение школьников к какому-либо заданному, а не строящемуся при их активном участии варианту системы аксиом евклидовой геометрии и обучение их такой деятельности в рамках этой системы аксиом, в которой довлеет логический план, воспринимается ими как навязываемый им мертвый ритуал. Ведь «прямое обучение понятиям всегда оказывается фактически невозможным и педагогически бесплодным» (Л.С. Выготский). К тому же за задачей приобщения к аксиоматической геометрии в общеобразовательной школе стоит не столько задача ее освоения, сколько задача надпредметного и метапредметного характера, состоящая в формировании способностей учащихся к восхождению от уровня обыденных представлений на рациональный уровень, задача формирования способности к построению и использованию продуктивных моделей сложных систем. Аксиоматическая теория осваивается только при прямом участии в процессе ее формирования, как продукт такого процесса, ведущего к смысловому скачку и превращению внутренней формы учебной деятельности. В отходе от этого главная причина трудностей освоения аксиоматического метода. «Личность развивается в той мере, в какой она схватывает принцип построения и преобразования форм организации мыследеятельности» (Ю.В. Громыко, [64, c 110]).

Обучение геометрии в школе строится так, чтобы аксиомы евклидовой геометрии воспринимались учащимися как аксиомы в обыденном смысле, то есть не как полагаемые условия, в рамках которых, на базе которых, развертывается рассмотрение, и в этом смысле не требующие доказательств, а как самоочевидные истины и потому не нуждающиеся в доказательствах. В этом качестве они закрепляются в сознании школьников и используются в учебной деятельности как основа решения частных и общих задач. Тем самым геометрия осваивается школьниками как теория, зиждущаяся на эмпирической основе. Формирование аксиоматической теории на базе такой теории, способствующее и постижению школьниками существа аксиоматического метода, начинается с превращения выделенной основы теории в предмет изучения, в частности, с исследования логических отношений между аксиомами, образующими ее, и вопроса о том, действительно ли она является основой теории, то есть действительно ли теоремы теории выводимы из этих аксиом без (осознанного или неосознанного) использования настолько же очевидных других фактов, а если нет, то каковы логические отношения между такими фактами и аксиомами.

Человеческое мышление склонно к неосознаваемой идеализации (чему способствуют и ограниченные возможности рецепторов). Это зримо проявляется в той легкости, с которой формируются у детей представления о прямой, плоскости, точке. Еще более зримо это проявляется в той готовности, с которой они воспринимают аксиомы евклидовой геометрии (рассматриваемые в школьных учебниках) как самоочевидные истины. Такая склонность обыгрывается авторами учебников, методистами и учителями как дающая возможность школьникам осуществлять быстрый и успешный старт при изучении геометрии. Но это и порождает возможность ухода учащихся от освоения доказательств теорем, которые при таком вхождении в начала геометрии предстают как очевидные и потому не нуждаются в доказательствах, как и аксиомы. При таком вхождении в геометрию учащиеся не приводятся к осознанию существенно иной, не «обыденной», природы идеальных геометрических объектов, к осознанию необходимости существенно иной методологии связанных с ними исследований. Более того, они уводятся от осознания этого.

Но это оправданно: такой подход и не должен создавать усложнений для сохранения той здоровой, той несущей деятельностную энергию наивности учащихся, которая помогает им обрести знания, входящие в необходимый общеобразовательный багаж и могущие служить стартовой содержательной базой для их приобщения к аксиоматическому методу. Они уводятся от несвоевременного осознания не «обыденной» природы идеальных геометрических объектов, и тем сохраняется возможность приведения их к более далеко идущему осознанию этого.

Но какие средства, реализуемые в рамках общеобразовательной школы на базе протоаксиоматичекой геометрии, могут служить приобщению их к аксиоматическому методу? Первичное осознание того, что приносит радикальное преображение привычных представлений, обычно приходит не «через ворота научных понятий», а через пересмотр первопредставлений, прото-идей, которому способствуют столкновения с пограничными ситуациями, постановки вопросов пограничного характера.

Природосообразным средством, побуждающим учащихся к восхождению на теоретический уровень и тем открывающим возможность осознания ими существа аксиоматического метода, является столкновение их с ситуациями, ведущими ко все большему размыванию первопонятий геометрии и посредством этого ко все большему удалению от очевидности аксиом евклидовой геометрии. При этом естественно ограничиться геометрией на плоскости. Начальный шаг в осуществлении такого средства естественно осуществлять как обращение к вопросам о том, что представляет собою или может представлять плоскость, тот «мир» (геометрии на плоскости), которому принадлежат рассматриваемые геометрические образы, о том, единственно ли возможно, единственно ли разумно, единственно ли продуктивно то привычное представление о нем, которое лежало в основе изучения геометрии.

Но прежде заметим, что само это привычное представление о нем, как и привычные представления о прямой и точке, сформировано обучением геометрии, теми схемами, теми видами рисунков, которые оно использует. И разве менее привычны представления о плоскости как о подобии обозреваемой с высокой точки части земной поверхности, простирающейся до горизонта, то есть как о внутренности огромного круга?

Представим себе «мир», являющийся внутренностью (огромного) круга. Точками в нем являются точки этой внутренности, а прямыми – хорды (модель Клейна). Представим, что мы находимся в нем и что рассмотрения ведутся нами не во всем этом «необъятном» «мире», а в рамках нашей обозреваемости, в достаточной близости от его центра. Представления о точках и прямых в таком «мире» близки привычным. В нем выполняются все обычно рассматриваемые в школьных учебниках аксиомы евклидовой геометрии на плоскости, кроме аксиомы параллельности. Таким образом, мы имеем две разные геометрии, основывающиеся на разных пониманиях плоского «мира» и порождаемых этим разных пониманиях прямой. Естественно обращение к вопросам о том, какая из этих геометрий более адекватно «описывает», выражает «реальный» плоский «мир», и так ли очевидна аксиома параллельности (пятый постулат Евклида).

Рассмотрим открытую полусферу огромного радиуса, то есть полусферу без ее границы, в основании которой находится описанного вида неевклидов «мир» A. Рассмотрим «плоский» «мир» B на этой полусфере, такой, что его точками являются точки полусферы, а прямыми – линии на полусфере, проекции которых на ее основание являются его хордами, то есть прямыми в геометрическом мире А. Визуально «миры» A и B существенно отличаются. Однако они удовлетворяют одним и тем же аксиомам, одним и тем же условиям, выразимым на языке геометрии на плоскости. Более того, эти «миры» могут рассматриваться как разные видения одного и того же мира: A - как видение «мира» B его обитателями, а B - как его же видение извне.

А теперь рассмотрим какую-нибудь всюду определенную непрерывную функцию z=f(x,y), график которой представляет поверхность с большим числом оврагов, гор и ущелий, утесов, изломов. «Мир» представляет собой эту поверхность. Точки в нем - это точки поверхности, а прямые - такие линии на поверхности, проекциями которых на плоскость x0y являются прямые. В этом «мире», визуально очень не похожем на привычный евклидов «мир» на плоскости, естественным образом определимы все понятия евклидовой геометрии и выполняются все ее аксиомы. Но так ли очевидны эти аксиомы для обитателей такого «мира»? Привычный евклидов «мир» на плоскости x0y естественно рассматривать как идеальный образ этого «мира» и как продуктивную его модель. Отправляясь от рассмотренных ситуаций, учащиеся сами смогут построить такой плоский «мир», в котором через некоторые две точки проходит более одной прямой, и такой, в котором не через всякие две точки проходит прямая.

Удовлетворяет ли «реальный» плоский геометрический мир аксиоме параллельности? Рассмотрения, подобные приведенным, помогают учащимся осознать, что этот и подобные ему вопросы имеют смысл для идеальных образований, идеальных «миров».

Евклидова или неевклидова геометрия на плоскости является описанием «реального» плоского геометрического мира? Рассмотрения, подобные приведенным, помогают осознать, что реальный мир может описываться разными аксиоматическими геометриями как его моделями, являющимися не просто средствами его описания, но и средствами его исследования. Они помогают осознать, что выбор такого рода модели определяется не «адекватностью» реальному миру, а ее продуктивностью как модели.

Рассмотрения, подобные приведенным, помогают осознать и то, насколько кажущейся может быть очевидность тех или иных геометрических предложений. Они показывают, насколько непохожими могут быть «миры», удовлетворяющие одним и тем же аксиомам. Множественность возможных «миров» говорит и о том, что та наивная база, на которой строилась и развивалась геометрия, не исчерпывается продуктом этого развития. Она несет больший орудийный потенциал, чем тот, который воплощен в этом продукте. Эта множественность говорит и о принципиальной недостаточности только рациональных средств. Все это говорит не просто о важности, но о необходимости внепонятийного, наивного компонента учебной деятельности не только как заводящего механизмы понимания, но как носителя креативного начала, как носителя далеко идущего развития мышления учащегося.

Дальнейшие шаги на базе обучения геометрии, направленные на приобщение школьников к аксиоматическому методу и несущие их математическое развитие, а с ним и мировоззренческое развитие, должны быть направлены на выявление ими более глубоких слоев своей субъективности, существенным образом влияющих на характер их мышления. Эти слои субъективности несут в себе всю полноту жизненного опыта учащегося. Они рождают первичную ориентировку в новых ситуациях. Они «заводят» механизмы понимания. Они рождают проявления креативности. Но и они же без соответствующего обучения учащегося становятся препятствием на пути его дальнейшего логического, а с ним и математического, и общего интеллектуального развития. Поэтому речь должна идти не о подавлении субъективности учащегося, а о таком его развитии, которое ведет к преображению его как субъекта учебной деятельности.

Эффективным средством такого развития является анализ доказательств теорем геометрии, приводящий к выявлению того, что в них имеется в виду, но явно не оговаривается и даже не осознается. Такой анализ приблизит учащихся к пониманию того, что такое аксиоматическая евклидова геометрия, какой она должна быть для обеспечения надежного обоснования всего богатства теорем школьного курса геометрии. Тем самым он приблизит их к пониманию существа аксиоматического метода. Такой анализ будет нести их логическое развитие, направляемое осознанием того, что такое строгое доказательство и на чем оно основывается.

Имеются учебники, представляющие хорошие образцы обучения геометрии как протоаксиоматической теории, обучения, способствующего более качественному усвоению геометрических знаний и логическому развитию учащихся. Но тот ли это уровень развития, который способствует постижению ими существа аксиоматического метода? Способствует ли обучение по таким учебникам развитию теоретического мышления, то есть мышления, «внутренне связанного с исследованием природы своей собственной основы» (В.В. Давыдов). Побуждает ли оно учащихся к восхождению на надпредметный и метапредметный уровни мыследеятельности, необходимому для развития их теоретического мышления? Способствует ли оно такому логическому развитию учащихся, такому развитию используемой ими логики (точнее говоря, протологики), которое приводило бы их к осознанию необходимости движения к логике формальной как к очищенной, идеальной форме протологики, к осознанию идеальной надежности выводов, строящихся в рамках такой логики? Способствует ли оно такому исследованию привычного пространственного мира, которое использовало бы сопоставления его с другими, возможными пространственными мирами, или, что то же, сопоставления привычного способа «видения» этого мира с другими способами его «видения», то есть сопоставления разных «семантик» для традиционного «синтаксиса» школьной геометрии?

Существенное различие природосообразного процесса аксиоматизации геометрии и природосообразного процесса формирования, например, строгого понятия предела функции в точке и условий, в которых они осуществляются, во-первых, состоит в том, что второй осуществляется вместе с развертыванием прототеории, представляемой протопонятием предела, тогда как процесс аксиоматизации евклидовой геометрии и посредством этого приобщения к аксиоматическому методу осуществляется на базе уже выстроенной прототеории и потому апеллирует к ней как к целому. Этим оправдывается бытующий характер учебников геометрии как приобщающих к такой прототеории.

Во-вторых, работа по аксиоматизации сопровождается более глубоким проникновением учащегося в когнитивный план, направленностью на осознание того, что имеется в виду и существенно используется, но не осознавалось, и поиск адекватного продуктивного формального выражения этих сторон дела. Такой поиск осуществляется при напряженном соотнесении этой задачи с целостностью теории.

Процесс аксиоматизации геометрии - это намного более сложный процесс, чем процессы формирования тех или иных отдельных понятий школьного курса математики. Но именно такой процесс в должной мере способствует реализации цели образования, соответствующей стандартам второго поколения. Такой процесс помогает осознанию того, что мыслительные стереотипы, ограничивающие познавательные и творческие возможности, рождаются не только обыденным опытом, но и опытом научной деятельности, и что поэтому продуктивный путь развития личностного и профессионального – это путь, сопровождающийся самопознанием и самопреодолениями.

Доказательства, предлагаемые школьникам, носят «ситуативный» характер и опираются на такие «аргументы», которые «имеются в виду» и часто не осознаются. Вместе с тем, более основательное осуществление начала процесса восхождения на аксиоматический уровень изучения геометрии несет возможность преображения такого положения. Выделение тех прото-понятий, роль которых играют геометрические «первообразы», на обращении к которым основываются открытия прото-теорем, открываемая возможность разных «реалистичных» их представлений (интерпретаций), а значит, разных форм идеализации – все это ведет к достижению понимания аксиоматизации как творческой деятельности, направленной на построение идеальной модели пространственных представлений, являющейся одной из многих возможных продуктивных моделей такого рода. Все это и есть внесение в обучение гуманитарного начала, несущее понимание существа аксиоматического метода, а с ним и понимание места и роли формально-логических средств в его реализации. Все это приобщает учащихся к стратегиям поисково-исследовательской деятельности. Все это способствует постижению ими природы математики, природы культурной математической деятельности. Все это открывает перед ними внутреннюю необходимость и продуктивность принципа от неразвитого целого – к развиваемому и преображаемому целому.

Как мы заметили выше, человеческое мышление склонно к неосознаваемой идеализации. Обыденные представления о линиях, поверхностях, точках являются зримыми примерами такой идеализации. Восхождение к аксиоматической геометрии – это восхождение от обыденного идеального к развитому идеальному. То же верно в отношении процессов восхождения к строгим понятиям предела, непрерывности и многим другим математическим понятиям. Представляется, что названное качество человеческого мышления должно стать значимым предметом когнитивистики. Представляется значимым исследование его в контексте вопросов о возможностях искусственного интеллекта.




1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   61


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница