2011 год Введение. Виды дополнительных построений



Скачать 126.34 Kb.
Дата06.07.2016
Размер126.34 Kb.
МОУ «Карабай-Шемуршинская СОШ»

«Задачи на дополнительное построение»

Работу выполнила:

Елисеева Ольга 11 класс



Руководитель: Кузьмина Раиса Дм.

Учитель математики

МОУ «Карабай-Шемуршинская СОШ»

2011 год

Введение.

Виды дополнительных построений.

Глава 1: Продолжить медиану.

Глава 2: Провести прямую, параллельную данной.

Глава 3: Провести прямую, перпендикулярную данной.

Глава 4: Построить окружность.

Заключение.

Библиография.

Введение.

Приступая к решению геометрической задачи, нужно иметь в виду, что обычно геометрическая задача может быть решена несколькими способами. Поэтому, если появилась идея решения задачи, но путь к решению довольно длинный, то следует помнить, что существенную помощь могут оказать дополнительные построения. В одних случаях эти построения напрашиваются сами собой, в других они не так очевидны и требуют изобретательности, геометрической интуиции. Сейчас в школьном курсе учеников знакомят с разнообразными понятиями и средствами решения задач, но именно их разнообразие оставляет мало времени на приобретение навыков, и вкус к такого рода задачам, которые развивают геометрическое воображение. Цель работы: выделить основные виды дополнительных построений, к каждому виду подобрать и решить задачи. Изучив статью «Научим школьников выполнять дополнительные построения» в газете «Математика» приложение к газете «Первое сентября» и статью «Учимся делать дополнительные построения» в научно-популярном физико-математическом журнале «Квант», меня заинтересовала эта тема и я начала подбирать задачи, которые «красиво» решаются с помощью дополнительных построений. Изучив задачники Просолова В.В «Задачи по планиметрии» и Шарыгина И.Ф «Задачи по геометрии», я выделила четыре основных вида дополнительных построений: продолжить медиану, построить прямую параллельную данной, построить прямую перпендикулярную данной, построить окружность. В данную работу включено 10 наиболее интересных задач. Среди них задачи на вычисление, на доказательство, на построение.



Продолжить медиану.

№1. Две стороны треугольника равны 27 и 29, а медиана, проведенная к третьей стороне равна 26. Найти высоту, проведенную к стороне 27.

Дано:

∆ABC


AB=27,BC=29,BO=26

CD − высота

BO − медиана

Найти CD.

Решение

1. Дополнительное построение: строю OE=BO ABCE-

параллелограмм (по признаку) BC=AE=29. AB=EC=27

2. S∆ABC= S∆ABE (т.к составлены из равных треугольников)

3. S∆ABE=(по формуле Герона) S∆ABE=

S∆ABC=


270=

CD=20


Ответ: 20

2

На сторонах AB и BC построены вне его квадраты ABDE и BCKF. Доказать, что отрезок DF в 2 раза больше медианы BP треугольника ABC.

Дано:


∆ABC

ABDE и BCKF - квадраты

Доказать, что DF=2BP.

Решение:


  1. Дополнительное построение: строю PQ=BP ABCD-параллелограмм (по признаку)









(BF=BC, DB=CQ) DF=BQ=2BP

3


Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон, имеющих с этой медианой общую вершину.

Дано: ∆ABC, BP − медиана

Доказать, что BP< ½ (AB+BC)

Решение: 1.Дополнительное построение: строю PD=BPABCD параллелограмм (по признаку) AB=CD, BC=AD

2. BD

BD

2BD

2BD<2BC+2AB

BD
Провести прямую, параллельную данной.

1

Найти высоту равнобедренной трапеции, если её диагонали взаимно перпендикулярны, а площадь трапеции равна S.

Дано:


ABCD− равнобедренная трапеция

AC и BD − диагонали

BD

S − площадь трапеции

Найти: h − высоту трапеции

Решение


1. Дополнительное построение: строю CE||BD

2. равнобедренный (т.к AC=BD, BD=CE, AC=CE)

3. прямоугольный (т.к COBD, BD||CECECO)

4. Проведу высоту CF – она является медианой и биссектрисой







AE=2AF=2h

Sтр.=

BC+AD=AE (т.к BC=ED)

Sтр.=

h=



2.
Через середину M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого равна 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке O. Найти площадь четырехугольника OMCD.

Дано:


ABCD−параллелограмм

SABCD=1

BM=MC

Найти площадь: OMCD.



Решение

1. Дополнительное построение: стою BE||AM, AF||BO

2. S=

3. и - они имеют общую высоту = S=

4. S=

5. ~ (т. к. общий) S=

6. Рассмотрим и



=(по двум сторонам и углу между ними) S=s=1/12

7. SOMCD=S∆BDC-S∆BOM=1/2-1/12=5/12

Ответ: 5/12

3



Построить трапецию по четырем сторонам

Дано:


Построить трапецию ABCD

так, что AB=c, BC=a, CD=d, AD

Дополнительное построение: строю BP||CD. Задача сводится к построению ABP по трем сторонам AB=c, BP=d, AP=b-a

Построение:

1.Строю ABP по трем сторонам так, что AB=c, BP=d, AP=b-a.

2.Строю PD=a

3. Строю BC||PD, BC=a. AD=b

4. ABCD - искомая трапеция.

Доказательство:

1. BC||AD (по построению), AB не параллельно CD, т.к BP||CD , ABCD – трапеция (по построению)

2. BC=a, AB=c, AD=b, CD=BP= (по построению)

3. ABCD – с данными сторонами.

Исследование: Задача имеет единственное решение, если можно построить ABP, т.е выполняется неравенство треугольника: c
Провести прямую, перпендикулярную данной

№1


На катетах AC и BC прямоугольного треугольника вне его построены квадраты ACDE и BCKF. Из точек E и F на продолжение гипотенузы опущены перпендикуляры EM и FN. Доказать, что EM+FN=AB.

Дано:


∆ABC−прямоугольный

ACDE и BCKF− квадраты

EMPA, FN BQ

Доказать, что EM+FN=AB.

Решение:


  1. Дополнительное построение: строю CL

  2. Пусть и

  3. Аналогично

(по катету и острому углу) EM=AL, FN=LB EM+FN=AL+LB=AB.

2.


Пусть AC − большая из диагоналей параллелограмма ABCD, Из точки C на продолжения сторон AB и AD опущены перпендикуляры CE и CF соответственно. Докажите, что AB∙AE+AD∙AF=AC ∙ AC.

Дано:


ABCD-параллелограмм

CEBN, CFDM

Доказать, что AB∙AE+AD∙AF=AC ∙ AC

Решение


1.Дополнительное построение: строю ACBG

2. ~ (- общий,

3. AF||CBFAC=ACB (как накрест лежащие при прямых AF||CB b секущей AC)

4., (FAC=ACB, )

5.





AB∙AE+AD∙AF=AC



Построить окружность.

Найти сумму внутренних углов пятиконечной звезды

Дано: пятиконечная звезда

Найти:

Решение:

Дополнительное построение: описываю около звезды

окружность.

1.


В трапеции ABCD (AB и CD основания) меньшее основание равно
a, углы, прилежащие к этому основанию, равны 105 , а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.

Дано:


ABCD – трапеция

AB и CD –основания





Найти: Sтрапеции.

Решение

1.Дополнительное построение: строю описанную окружность



(т.к. трапеция равнобедренная, то можно описать окружность)

2. Sтр. =½

3. Пусть QB=x, AB=2x (т.к ), AQ=y по теореме Пифагора:

4. BQ=QC=x

По теореме Пифагора из BQC x

+x

=a



5. AQ=QD=y

По теореме Пифагора из AQD:

6. BD=BQ+QD=

7. S=

Заключение.

Рассмотрев конкретные случаи, мы убедились, что решение задач с помощью

дополнительных построений не только быстрей и проще, но и намного интересней, чем решение привычными способами.

Решая задачи на дополнительное построение, мы

не только углубляем знания, но и развиваем

изобретательность и геометрическую интуицию.

Хотелось бы продолжить работу по этой теме, добавив другие

построения, например, преобразование на плоскости. Данный

материал можно использовать при повторении курса

планиметрии и при подготовке к ЕГЭ.



Библиография

Математика. Приложение к газете «Первое сентября», - 1999, №48-с 15

Научно-популярный физико-математический журнал «Квант» №10, 1975г.-с 48

Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах.-м.: Просвещение, 1987.-223с

Просолов В.В. Задачи по планиметрии, 1 часть-м.:Наука, 1986.-269с

Просолов В.В. Задачи по планиметрии, 2 часть-м.:Наука, 1986.-287с



Шарыгин И. Ф. Решение задач.-м.: Просвещение, 1994.-351с

Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии.-м.:Наука,1982.-359с
Каталог: files -> file
file -> Чисть I. История. Введение: Предмет философии науки Глава I. Философия науки как прикладная логика: Логический позитивизм
file -> Перспективы развития транспортно-логистического комплекса Ленинградской области Слайд 1 «Представление»
file -> Участие Сосновоборского городского округа в реализации государственных программ в 2014 году
file -> Общие требования к верстке книжных изданий
file -> А–7 кр–4 «Одночлены» вариант 1 А–7 кр–4
file -> Пособие разработано ст преп. Смышляевой Т. В
file -> Коммуникационный практикум
file -> «Звук [а] и его обозначение буквами А, Я»


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница