2 Определение поверхностного интеграла первого рода и его свойства




Скачать 45.62 Kb.
Дата11.06.2016
Размер45.62 Kb.

2.Поверхностные интегралы первого рода




2.1. Определение поверхностного интеграла первого рода

и его свойства

Пусть на квадрируемой поверхности () определена ограниченная функция f(M)=f(x,y,z), M. Разобьем поверхность () кусочно  гладкими линиями на n квадрируемых частей: Взяв в каждой части , i=1, 2, . . . , n произвольно точку , вычислим в этой точке значение функции : .

Составим интегральную сумму вида

,

где площадь участка разбиения , i=1, 2, . . . , n. Пусть ,где диаметры частей , i=1, 2, . . . , n.

Если существует конечный предел интегральных сумм , когда  стремится к нулю и он не зависит ни от разбиения поверхности на участки , ни от выбора точек на участках разбиения, то такой предел называется поверхностным интегралом первого рода или интегралом по площади поверхности и обозначают его в виде

(31)

где ds элемент площади.



Теорема 1. Пусть ()  гладкая или кусочно  гладкая поверхность и f(x,y.z )  непрерывная на () функция. Тогда функция f(x,y,z) интегрируема по площади поверхности () , т. е. существует интеграл (31).
Замечание 1. Поверхностный интеграл первого рода является обобщением двойного интеграла, поэтому для интеграла (31) справедливы все свойства двойных интегралов.

2.2. Вычисление поверхностного интеграла первого рода

сведением его к двойному интегралу



Теорема 2. Пусть ()  гладкая поверхность, не имеющая особых точек, заданная параметрически уравнениями (5):

и пусть f(x,y,z) непрерывная функция на поверхности (). Тогда справедливо равенство:



(32)

где A, B, C определены формулами (16).


Чаще встречается явное задание поверхности (), поэтому следует рассмотреть частные случаи этой теоремы.

Следствие 1. Пусть гладкая поверхность () определена явным уравнением (2): Пусть f(x,y,z) непрерывная на () функция, тогда

(33)

Доказательство. Если положить, что x и y параметры, тогда явное уравнение (2) может быть записано в параметрической форме:

Исходя из этого, определим по формулам (16), (27) элемент площади ds:



.

Тогда формула (32) примет вид (33).



Следствие 2. Пусть гладкая поверхность () определена явным уравнением (3): Пусть f(x,y,z) непрерывная на () функция, тогда

(34)

Следствие 3. Пусть гладкая поверхность () задана явным уравнением (4): Пусть f(x,y,z) непрерывная на () функция, тогда

(35)

Замечание 2. Если поверхность () кусочно  гладкая, то можно воспользоваться свойством поверхностного интеграла и представить интеграл по поверхности () в виде суммы интегралов по гладким поверхностям из объединения которых составлена поверхность ().

Пример. Найти где ()  поверхность цилиндра



заключенная между плоскостями z=0 и z=4.

Решение . Кусочно  гладкую поверхность () нельзя задать явным уравнением. Но ее можно разбить на две гладкие поверхности

(рис. 9). Одна расположена в полупространстве y>0 и ее явное уравнение имеет вид



другая расположена в полупространстве y<0 и ее явное уравнение имеет вид






Рис. 9. Изображение Рис. 10. Проекция поверхности ()

поверхности () на плоскость XZ

Тогда, воспользовавшись замечанием 8 (пункт 1.4) и формулой (34), получим











Здесь область изображена на рис. 10.


Ответ:

2.3. Приложения поверхностных интегралов первого рода

1). Площадь квадрируемой поверхности () можно вычислить по формуле:

(36)

Это следует из формул (26)  (30) и (32)  (35).


Рассмотрим механические приложения поверхностного интеграла первого рода. Пусть ()  материальная поверхность и (M)  поверхностная плотность распределения массы в точке M(x,y,z) поверхности ().

2). Масса поверхности () вычисляется по формуле:



(37)

3). Статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей XY, XZ, YZ вычисляются по формулам:

(38)

(39)

(40)

4). Координаты центра тяжести поверхности () определяются по формулам:



(41)

5). Момент инерции поверхности (), например, относительно оси OX определяется по формуле:



(42)

6). Момент инерции поверхности (), например, относительно плоскости YZ :



43)

7). Момент инерции поверхности () относительно начала координат:



44)

Замечание 3. Если (x,y,z)=const., то поверхность называется однородной. Если (x,y,z)=1, то m=S.

Пример. Найти положение центра тяжести однородной конической поверхности:

и момент инерции относительно начала координат ((x,y,z) ==const.).



Решение.



Рис. 11. Изображение Рис. 12. Проекция

поверхности () поверхности ()
Так как поверхность () симметрична относительно оси OZ (рис. 11), то центр тяжести этой поверхности расположен на оси OZ. Следовательно в формулах (41) Для определения третьей координаты найдем сначала статический момент по формуле (38):





Здесь для перехода от поверхностного интеграла к двойному воспользовались формулой (33) и изображением области интегрирования (рис. 12).

Далее найдем массу по формуле (37):

Тогда по формуле (41) найдем:



Таким образом, центр тяжести поверхности находится в точке C(0, 0, 2/3).

По формуле (44) найдем момент инерции относительно начала координат:



Ответ:






База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница