1. элементы теории погрешностей




Скачать 100.11 Kb.
Дата13.07.2016
Размер100.11 Kb.
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ
В теории погрешностей обычно решаются следующие задачи:

  1. если известна независимая переменная с некоторой точностью, то с какой точностью можно найти значение функции.

  2. если необходимо получить значение функции с заданной точностью, то какова должна быть точность значений независимой переменной (обратная задача).

При решении математических задач часто приходится сталкиваться с приближёнными вычислениями. Это связано с тем, что

  1. исходные данные о реальных объектах редко бывают точными.

  2. формулы, описывающие явления, оказываются приближёнными.

  3. для практических приложений часто нет необходимости в получении точных численных результатов.

Приближённым числом называется число, которое мало отличается от точного (истинного значения какой-либо величины) и может заменять его в вычислениях.

Под погрешностью приближённого числа понимается некоторая величина, характеризующая точность результата. Погрешность обусловливается следующими причинами:



  1. исходные данные для расчётов получаются путём измерений, которые всегда содержат погрешности - систематические и случайные.

  2. применяемый для решения метод не является точным: получение точного решения требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, поэтому вместо точного решения приходится прибегать к приближениям.

  3. при выполнении арифметических операций производятся округления.

Различают три вида погрешностей, которые соответствуют этим причинам:

  1. неустранимая погрешность (это погрешность, связанная с ошибками в исходной информации)

  2. погрешность метода;

  3. погрешность вычислений (вычислительная), возникающая из-за округлений.

Поэтому возникает вопрос о количестве знаков, которые следует сохранять при вычислениях, не превышая требуемой точности.
1.1. Вычислительная погрешность
Округление числа - представление числа с меньшим количеством значащих цифр знаков (разрядов) или замена его другим числом с меньшим количеством цифр. Пусть число - приближение (приближенное значение) числа , где - точное число.

Разность между точным числом и его приближённым значением называется погрешностью приближённого числа .

Разность обычно неизвестна, т.к. как правило, неизвестно точное значение , но зная и границы, в которых заключено , можно оценить сверху. Под оценкой погрешности приближенного числа понимают установление неравенства .

Число называют абсолютной погрешностью приближенного числа (или "предельной абсолютной погрешностью"). Оно определяется неоднозначно: его можно увеличить. Обычно стараются указать возможно меньшее число , удовлетворяющее неравенству и обозначают через .

Величина называется абсолютной погрешностью приближённого числа . Тогда .

Точность приближённого числа лучше характеризует его относительная погрешность.



Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение его абсолютной погрешности к абсолютной величине приближённого числа : .

Тогда точное число можно записать в виде .

Относительная погрешность иногда записывается в процентах: .

Если приближённое число записано в десятичной форме, то абсолютная погрешность принимается равной 1 последнего знака, если число получено без округления; и половине единицы, если число получено с округлением.

Если в записи числа не указано, то подразумевается, что имеет точность половины единицы младшего разряда.

Пример. Для абсолютная погрешность .

Значащими цифрами числа называются все его цифры, кроме нулей, стоящих левее первой отличной от нуля цифры.

Пример. 2,0351; 12500 - все значащие; 0,00125 - значащие 1,2,5.

Первая, считая слева направо, цифра числа, отличная от нуля, называется первой значащей цифрой; всякая цифра (в т.ч. и нуль), находящаяся правее первой значащей цифры является значащей цифрой.

Пример. Найти абсолютные и относительные погрешности числа , заданного двумя и тремя значащими цифрами после запятой.

Пусть . Тогда ,



.

Пусть . Тогда ,

.

Абсолютные и относительные погрешности числа принято записывать не более чем с 2-3 значащими цифрами и округлять только в большую сторону, т.к. при округлениях границы неопределённости числа увеличиваются.



Пример. ; .

Всякое десятичное приближенное (или точное) число может быть представлено в виде



….,

где - цифра числа , - старший десятичный разряд числа .



Пример. .

Приближённое число содержит верных значащих цифр в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит 0,5 единицы десятичного разряда, выражаемого -й значащей цифрой, т.е. если выполняется неравенство . (1)

Приближённое число содержит верных значащих цифр в широком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит единицы десятичного разряда, выражаемого -й значащей цифрой, считая слева направо, то есть если выполняется неравенство

. (2)

Пример. Для точного числа число является приближённым с четырьмя верными цифрами в широком смысле, т.к.

Приближенное число имеет 4 верные цифры, т.к. записано без указаний точности .



Пример. Выделить верные значащие цифры чисел в узком смысле (1).

а) ; Т.к. , то верные цифры 4 и 5;

б) ; Т.к. , то только 4;

в) ; Т.к. , то 2,0,8,7,0;

г) ; Т.к. , то верные значащие цифры 1, 2, 3;

д) ; Т.к. , то все цифры сомнительные;

е) ; Т.к. , то верные цифры 9,9,9,9.

Если неравенства (1) или (2) не выполняются, то цифра называется сомнительной.

Вычислить приближённое число с точностью означает, что необходимо сохранить верной значащую цифру, стоящую в -м разряде после запятой.

При записи чисел руководствуются следующим правилом: все значащие цифры должны быть верными. Поэтому округление чисел, записываемых в десятичной системе, производится правилу первой отбрасываемой цифры.

1.2. Правила округления чисел
Округление числа - приближенное представление числа в некоторой системе счисления с помощью конечного количества разрядов. Округление числа заключается в отбрасывании в нём всех цифр, следующих за некоторым разрядом. При этом если округляемое число целое, то отброшенные цифры целой части заменяют нулями.

Округлением числа называется замена его другим числом с меньшим количеством значащих цифр.

При округлении чисел соблюдаются следующие правила:

1) если первая из отбрасываемых цифр меньше 5 , то сохраняемые знаки

оставляют без изменения (округление с недостатком);

2) если первая из отбрасываемых цифр больше 5 , то последний из

сохраняемых знаков увеличивается на 1 (округление с избытком);

3) если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а среди следующих за ней

цифр есть отличные от нуля, то последний из сохраняемых знаков

увеличивается на 1;

4) Если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а все следующие за ней нули,

то последний из сохраняемых десятичных знаков увеличивается на 1, когда

он нечётный, и сохраняется неизменным, когда он чётный;

Пример. Округлить число до семи, шести, пяти и т.д. десятичных знаков и до единиц.

; ; ; ;

; ; ; .

Иногда применяется более простое правило округления:



Если в старшем из отбрасываемых разрядов (цифр) стоит цифра меньше 5 , то младший из сохраняемых разрядов не меняется. В противном случае в младшем сохраняемом разряде добавляется 1 .
1.3. Погрешности арифметических действий

1.3.1. Погрешность суммы и разности
Пусть - точные числа, а - их приближенные значения. Найдём . Зная абсолютные погрешности всех приближенных чисел, требуется оценить абсолютную погрешность их суммы. Составим разность

.

Перейдём к абсолютным величинам в обеих частях этого равенства и используем свойство абсолютных величин тогда



.

В качестве абсолютной погрешности приближённого числа , можно принять сумму , т.е. абсолютная погрешность алгебраической суммы, не должна быть меньше абсолютной погрешности наименее точного из слагаемых.



Пример.
1.3.2. Погрешность произведения
Рассмотрим два точных числа и их приближённые значения . Пусть и . Требуется по известным относительным погрешностям , найти относительную погрешность . Запишем точные значения , где .

Найдём

Переходя к абсолютным величинам в правой и левой частях, получим

Последнее слагаемое в силу его малости можно отбросить. Разделим последнее неравенство на и получим



.

В качестве относительной погрешности принимают сумму относительных погрешностей сомножителей. Формула может быть распространена на любое конечное число сомножителей.

При умножении приближённого числа на точный сомножитель относительная погрешность произведения равна относительной погрешности , а абсолютная погрешность в раз больше абсолютной погрешности .
1.3.3. Погрешность частного
Рассмотрим два точных числа и их приближённые значения с абсолютными погрешностями и Требуется оценить относительную погрешность приближённого значения для точного значения Запишем и найдём разность

.

Разделим обе части равенства на :



.

В обеих частях перейдём к абсолютным величинам



Учитывая малость по сравнению с , получаем



т.е.

В качестве оценки относительной погрешности частного принимают сумму относительных погрешностей делимого и делителя.


1.3.4. Погрешности степени и корня
Пусть приближённое значение точного числа и имеет относительную погрешность . Требуется оценить относительную погрешность степени числа :.

Относительная погрешность степени (или произведения слагаемых) равна

Т.е. при возведении в степень приближённого числа , относительная погрешность числа равна . Можно показать, что относительная погрешность числа в раз меньше относительной погрешности числа : .

1.3.5. Погрешность значения функции
Рассмотрим задачу об оценке погрешности вычисления значений функции по заданной погрешности значений её аргументов.

Пусть имеется функция , для которой известны приближенные значения аргументов и соответствующие им абсолютные погрешности . Требуется определить неустранимую погрешность вычисления значения функции в точке . Предположим, что 1) функция непрерывно дифференцируема в рассматриваемой области; 2) и т. д. Используя свойство 1), по формуле конечных приращений для функции нескольких переменных получаем



,

где .

Т.к. функция удовлетворяет условиям 1) и 2) , то можно считать, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка можно записать, что

, тогда .

Это соотношение называется линейной оценкой погрешности значения функции в точке . Из этого приближенного равенства следует, что относительная погрешность значения функции в указанной точке будет равна



.

Чтобы выразить относительную погрешность через относительные погрешности аргументов, полученное выражение можно переписать в виде



.
1.3.6. Правила подсчёта цифр
При вычислениях, в которых не проводится строгий подсчёт погрешностей, рекомендуется пользоваться правила подсчёта цифр. Эти правила указывают, как следует проводить округление всех результатов, чтобы, во-первых, обеспечить заданную точность окончательного результата и, во-вторых, не производить вычислений с лишними знаками, не оказывающими влияние на верные знаки результата.


  1. При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.

  2. При умножении и делении приближённых чисел в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое число с наименьшим числом значащих цифр .

  3. При возведении приближённого числа в степень в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени.

  4. При увлечении корня из приближённого числа в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число.

  5. При вычислениях в других случаях следует брать одной цифрой больше, чем рекомендуют предыдущие правила. В окончательном результате эта запасная цифра отбрасывается.








База данных защищена авторским правом ©uverenniy.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница